目錄歐拉公式全部公式 初中歐拉公式因式分解 歐拉公式三數立方和 歐拉公式的四種形式 歐拉公式怎么得出來的
事實上，歐拉公式有平面與空間兩個部分：
空間中的歐拉公式
V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點個數，F是多面體P的面數，E是多面體P的棱的條數,X(P)是多面體P的歐拉示性數。
如果P可以同胚于一個球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一個接有h個環柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的歐拉示性數，是拓撲不變量，就是無論再怎么經過拓撲變形也不會改變的量，是拓撲學研究的范圍。
在多面體中的運用:
簡單多面體的頂點數V、面數F及棱數E間有關系
這個公式叫歐拉公式。公式仔配描述了簡單多面體頂點數、面數、棱數特有的規律。
平面上的歐拉公式
，其中V是圖形P的頂點個數，F是圖形P內的區域數，E是圖形的邊數。
在非簡單多面體中，歐位公式的形式為：
其中H指的是平面上不完整的個數，而C指的是獨立的多面體的個數，G指的是多面體被貫穿的個數。
證明
（1） 把念皮指多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。
（2） 去掉多面體的一個面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設F′，E′和V′分別表示這個平面圖形的（簡單）多邊形、邊和頂點的個數，我們只須證明F′-E′+V′=1。
（3） 對于這個平面圖形，進行三角形分割，也就是說，對于還不是三角形的多邊形陸續引進對角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進一條對角線，F′和E′各增加1，而V′卻不變，所以F′-E′+V′不變。因此當完全分割成三角形的時候，F′-E′+V′的值仍然沒有變。有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。
（4） 如果某一握基個三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△ABC，去掉這個三角形的不屬于其他三角形的邊，即AC，這樣也就去掉了△ABC。這樣F′和E′各減去1而V′不變，所以F′-E′+V′也沒有變。
（5） 如果某一個三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△DEF，去掉這個三角形的不屬于其他三角形的邊，即DF和EF，這樣就去掉△DEF。這樣F′減去1，E′減去2，V′減去1，因此F′-E′+V′仍沒有變。
（6） 這樣繼續進行，直到只剩下一個三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。
（7） 因為原來圖形是連在一起的，中間引進的各種變化也不破壞這事實，因此最后圖形還是連在一起的，所以最后不會是分散在向外的幾個三角形，像圖中⑦那樣。
（8） 如果最后是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個三角形，也就是去掉1個三角形，3個邊和2個頂點。因此F′-E′+V′仍然沒有變。
即
成立，于是歐拉公式：
得證。[2]
R+ V- E= 2。
在任何一個規則球面地圖上，用R記區域個數，V記頂點個數，E記邊界個數，則R+ V- E= 2，這就是歐拉定理，它于1640年由野并Descartes首先給出證明，后來Euler(歐拉）于1752年又獨立地給出頌讓跡證明，我們稱其為歐拉定理，在國外也有人稱其為Descartes定理。
R+ V- E= 2就是歐拉公式。
歐拉公式是歐哈德·歐拉在十八世紀創造的，是數學界最著名、最美麗的公式之一。之所以如此，是因為它涉及到各種顯然非常不同的元素，比如無理數e、虛數和三角函數。
歐拉公式的歷史
1714年，英國物理學家和數學家羅杰·柯茨在一個公式中建立了對數、三角函數和虛數之間的關系。
二十年后，滑兆萊昂哈德·歐拉用指數函數代替對數得到了同樣的公式。
以上內容參考：-歐拉公式
瑞士著名的數學家歐拉，是數學史上的最多產的數學家，他畢生從事數學研究，他的論著幾乎涉及18世紀所有的數學分支．比如，在初等數學中，歐拉首先將符號正規化，如f(x)表示函數，e表示自然對數的底，a、b、c表示△ABC的三邊等；數學中的歐拉公式、歐拉方程、歐拉常數、歐拉方法、歐拉猜想等．其中歐拉公式的一個特殊公式ei?＋1＝0，將數學上的5個常數0、1、i、e、?聯在一起；再如就是多面體的歐拉定理V-E＋F＝2，V、E、F分別代表一簡單高漏握多面體的頂點、棱和面的數目，今天我們就去體驗當年的數學大師是如何運用數學思想和方法發現歐拉公式并給予理論上的推理證明等研究活動，希望大家在活動中要充分展開自己的想象，展開熱烈的討論互相進行數學搜中交流．
歐拉公式的證明
歐拉公式V＋F-E＝2，人們已給出多種證法，本節課中給出的是比較直觀且不涉及其他更深知識的一種證法，適合我們的知識狀況的一種證明方法，這種拉橡皮膜的方法體現了拓撲變換的特點．下面，介紹另兩種思維方法供參考．
證法一：(1)假想一凸多面體的面用薄橡皮做成，內部是空的，現破掉一個面，把其余的面展平并保持原表面的多邊形的邊數不變，成為一個平面網絡，這時V、E不變，只是F少1，于是即證在網絡中V-E＋F＝1．
(2)在網絡中的多邊形邊數若大于3，由戚慶于每增加一條對角線，則E、F各加上1，V-E＋F不變，于是盡可能增加對角線，使網絡成為全由三角形組成的網絡．
(3)邊緣上的三角形若有一個邊不是與其他三角形共邊，去掉這邊，則V不變，E、F各減少1；若有兩邊不與其他三角形共邊，去掉這兩邊，則F、V各減少1，E減少2，這樣逐步可把“周圍”的三角形一一去掉)．
(4)最后剩下一個三角形，顯然滿足V-E＋F＝1，從而在凸多面體中，V-E＋F＝2．
證法二：設F個面分別為n1，n2，…， 邊形，則所有面角總和
∑a＝(n1-2)?＋(n2-2)?＋…＋( -2)?＝(n1＋n2＋…＋ )?-2F?＝2E?-2F?①
如上面展成平面網絡后，設去掉的一個面為n邊形，可得到一個由n邊形圍成的網絡，內部有V-n個點．
則∑a＝(n-2)?＋(n-2)?＋(V-n)2?＝(n-2)2?＋(V-n)2?②
由①、②易得我們所得到的式子．
(Euler公式)
在數學歷史上有很多公式都是歐拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)發現的，它們都叫做
歐拉公式，它們分散在各個數學分支之中。
（1）分式里的歐拉公式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
當r=0,1時式子的值為0
當r=2時值為1
當r=3時值為a+b+c
（2）復變函數論里的歐拉公式：
e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。
它將三角函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里占有非常重要的地位。
將公式里的x換成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
這兩個也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：
e^i∏+1=0.
這個恒等式也叫做歐拉公式，它是數學里最令人著迷的一個公式，它將數學里最重要的幾個數學聯系到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率∏，兩個單位：虛數單位i和自然棚陵數的單位1，以及數學里常見的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”，我們只能看它而不能理解它。
（3）三角形中的歐拉公式：
設R為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則：
d＾2=R＾2-2Rr
（4）拓撲學里的歐拉公式：
V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點個數，F是多面體P的面數，E是多面體P的棱的條數,X(P)是多面體P的歐拉示性數。
如果P可以同胚于一個球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一個接有h個環柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的歐拉示性數，是拓撲不變量，就是無論再怎么經過拓撲變形也不會改變的量，是拓撲改培學研究的范圍。
在多面體中的運用:
簡單多面體的頂點數V、面數F及棱數E間有關系
V+F-E=2
這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、棱數特有的規律。
（5）初等數論里的歐拉公式：
歐拉φ函數：φ(n)是所有小于n的正整數里，和n互素的整數的個數。n是一個正整數。
歐拉證明了下面這個式子：
如果n的標準素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數，而且兩兩不等。則有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以證明它。
此外還有很多著名定理都以歐拉的名字命名。[編輯本段]歐拉方程Euler’s equation
對無粘性流體微團應用牛頓第二定律得到的運動微
分方程。歐拉方程是無粘性流體動力學中最重要的基本
方程,應用十分廣泛。1755年,瑞士數學家L.歐拉在《流
體運動的一般原理》一書中首先提出這個方程。
在研究一些物理問題，如熱的傳導、圓膜的振動、電磁波的傳播等問題時，常常碰到如下形式的方程：
（ax^2D^2+bxD+c）y=f(x),
其中a、b、c是常數，這是一個二階變系數線性微分方程。它的系數具有一定的規律：二階導數D^2y的系數是二次函數ax^2，一階導數Dy的系數是一次函數bx，y的系數是常數核和唯。這樣的方程稱為歐拉方程。
例如：(x^2D^2-xD+1)y=0,(x^2D^2-2xD+2)y=2x^3-x等都是歐拉方程。
化學中足球烯即C-60和此方程有關
證明過程：
利用級數。
exp(x)=1+x+(x^2)/2!+(x^3)/3!＋(x^4)/4!+……
sin(x)=x-(x^3)/3!+(x^5)/5!-(x^7)/7!＋……
cos(x)=1-(x^2)/2!+(x^4)/4!-(x^6)/6!＋……
其中exp(x)=e^x
于是exp(ix)=1+ix-(x^2)/2!-i(x^3)/3!+(x^4)/4!＋i(x^5)/5!＋……
比較以上3式，就得出歐拉公式了
[編輯本段]泛函的歐拉方程(by zhengpin1390)
(二)、泛函的歐拉方程
歐拉方程是泛函極值條件的微分表達式，求解泛函的歐拉方程，即可得到使泛函取極值的駐函數，將變分問題轉化為微分問題。
（1） 最簡單的歐拉方程：
設函數F(x,y,y') 是三個變量的連續函數，且點(x,y)位于有界閉區域B內，則對形如
的變分，若其滿足以下條件：
c) 在有界閉區域B內存在某條特定曲線y。(x) ，使泛函取極值，且此曲線具有二階連續導數。
則函數y。(x) 滿足微分方程：
上式即為泛函Q[y]的歐拉方程。
（2）含有自變函數高階倒數的泛函的歐拉方程
一般來說，對于下述泛函：
在類似條件下，可以得到對應的歐拉方程為：
（3）含有多個自變函數的泛函的歐拉方程
對于下述泛函：
其歐拉方程組為：
（4）多元函數的泛函及其歐拉方程
此處僅考慮二元函數的情況，對如下所示多元函數的泛函：
其歐拉方程為：
[編輯本段]歐拉方程 (剛體運動)
在物理學上，歐拉方程統治剛體的轉動。我們可以選取相對于慣量的主軸坐標為體坐標軸系。這使得計算得以簡化，因為我們現在可以將角動量的變化分成分別描述的大小變化和方向變化的部分，并進一步將慣量對角化。
中國周易，伏義，魯班，弊友袁天罡，鬼谷子，劉伯溫。經典之哲學。寫稿創作，那個不超過歐拉，費馬，哥德巴赫，敬穗愛因斯坦，黎曼猜想！亮卜卜小學生知識思維時鐘編程AⅠ制。
