目錄高一數(shù)學(xué)正弦定理 高一數(shù)學(xué)必修二正弦定理公式 高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)正弦定理 高一數(shù)學(xué)正弦定理教案人教版 高一數(shù)學(xué)余弦定理變式
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
R為三角兆譽(yù)形外接圓半徑
所族褲段以(2c-b)/a=cosB/純簡(jiǎn)cosA
(2sinC-sinB)/sinA=cosB/cosA
2sin(180-A-B)cosA-cosAsinB=cosBsinA
2sin(A+B)cosA=sinAcosB+cosAsinB
2cosAsin(A+B)-sin(A+B)=0
sin(A+B)(2cosA-1)=0
sin(A+B)不等于0
所以cosA=1/2
A為三角形內(nèi)角
A=60度
1、∵2B=A+CB+A+C=180°
∴=60°
最大邊是最小邊的2倍根據(jù)爛喚碰正弦定理
sinA/a=sinC/c a=2c
∴sinA=2sinC=2sin（120°－A）
0°＜A＜120°
∴A=90°C=30°
三內(nèi)角之比為 1:2:3
2、tanA/tanB=2c/b-1
sinAcosB/sinBcosA=2c/b-1
用鏈孝正弦定理得，sinAcosB/sinBcosA+1=2sinC/sinB
(sinAcosB+sinBcosA)/sinBcosA=2sinC/饑談sinB
sin(A+B)/sinBcosA=2sinC/sinB
整理得，1/cosA=2 即A=60°
3、S=1/2absinC=1/2sin10°sin50°sin70°
=1/2cos80°cos40°cos20°=1/2cos80°cos40°cos20°sin20°/sin20°
=1/4cos80°cos40°sin40°/sin20°=1/8cos80°sin80°/sin20°
=1/16sin160°/sin20°=1/16
解：過(guò)a做垂線交bc與d
s=1/2*ad*bc,所以ad=根號(hào)2+根號(hào)6
在rt三角形abd中頃差，b=45°，所以，ab=根號(hào)2*ad=2（數(shù)乎納1+根號(hào)3）
bd=ad=根號(hào)2+根號(hào)6,所以dc=根薯沒(méi)號(hào)6-根號(hào)2
在rt三角形acd中，由勾股定理得ac=4
則b+c=
2（1+根號(hào)3）+4=2（3+根號(hào)3）
(1)sinAsinB=sinAsin(π-A)=sinAcosA=sin2A/2
則易有最大值為A=π/4時(shí)最大爛備為1/2
（2）sinA/BC
=sinC/2
sinC/2是定值，則要使BC最大，即要sinA最大，則當(dāng)A=π/2時(shí)升衡最大，此時(shí)B=40°。
（3）a/饑笑毀cos(A/2)=b/cos(B/2)=c/cos(C/2)①
又有a/sinA=b/sinB=c/sinC②
則①/②得sinA/cos(A/2)=sinB/cos(B/2)=sinC/cos(C/2)
又sinA=2sin(A/2)cos(A/2)
則有sin(A/2)=sin(B/2)=sin(C/2)
則△ABC是等邊三角形。
a=csinA/sinC，b=csinB/sinC，正弦定理
代入等式，有（c/sinC）（sinA+sinB）=（c/sinC）（cosA+cosB），即sinA+sinB=cosA+cosB，移項(xiàng)，有sinA-cosA=cosB-sinB，兩邊平方，sin2A+cos2A-2sinAcosA=sin2B+cos2B-2sinBcosB，所以sin（2A）=sin（2B），因?yàn)锳、B為三角形內(nèi)角，其范圍為（0，π），所以2A、2B的取值范圍是（0、2π），從正弦函數(shù)的圖像可知，要使兩個(gè)（0、2π）范圍內(nèi)的角的正弦值相等，兩個(gè)角要么同時(shí)小于π，要么同時(shí)大于π，若同時(shí)大于π，則A、B同時(shí)大于π/2，A+B＞π，超過(guò)三角形內(nèi)角和，矛盾。所以2A、2B同時(shí)小于π，即A、B小于π/2。只有當(dāng)2A=2B，或者2A+2B=π時(shí)，才有sin（2A）=sin（2B）成立。下面分類討論：
（1）2A=2B，即A=B，a=b，sinA=sinB，cosA=cosB，又sinA+sinB=cosA+cosB，所以sinA=cosA=（√2）/2，即A=B=π/4，所以叢彎C=π/2；
（2）2A+2B=π，A+B=π/2，C=π/2。
綜上所述，C=π/2。
或者，上面已經(jīng)說(shuō)到A、B小于π/2，則sinA、cosA、sinB、cosB均為正，因?yàn)閯偛艔膕inA-cosA=cosB-sinB得到sin（2A）=sin（2B），在等式兩邊配上1，有（sinA+cosA）2=（sinB+cosB）2，剛才說(shuō)了sinA、cosA、sinB、cosB均為正，所以兩邊滲爛悶根號(hào)有，sinA+cosA=sinB+cosB，又sinA-cosA=cosB-sinB，所以sinA=cosB，sinB=cosA，所以cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=0，又A+B的取值范圍是（歷衫0，π），所以A+B=π/2，所以C=π/2
