目錄七年級上冊多項式計算題50道 多項式計算題50道帶答案 多項式混合運算50道題 多項式乘多項式50道計算題及答案 七年級多項式計算題
本講主要內容
第一章整式的運算7~9
7．平方差公式8．完全平方公式9．整式的除法
二．學習指導
我們已經學過整式的乘法運算，知道單項式乘法的法則為：
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所行的積相加．
下面我們將介紹一些常用的并且是非常重要的乘法公式．
7．平方差公式
先來計算 和 ：
解： ；
由上面的兩個計算題，我們可以得到一個乘法公式：
平方差公式：
兩數和與這兩數差的乘積，等于它們的平方差．
注意：這個公式的左邊是兩數和與這兩數差的積，右邊是這兩數的平方差．
運用這個公式弊搜清計算，如：
；
．
8．完全平方公式
一塊邊長為a米的正方形場地，因需要將其邊長增加b米，總面積變為 平方米．讓我們來畫圖表示這個過程：
在右圖中，紅色的部分是原來的正方形
場地，兩塊藍色的和一塊綠色的是增加的部分．
紅色的面積為 平方米，兩塊藍色的面積各為
ab平方米，綠色的為b2平方米，總的面積為
平方米．于是就得到 （平方米）．
這樣我們又推出一個公式，這是完全平方公式中的一個．那么 該怎么做呢？其實
這樣我們就得到：
完全平方公式：兩數和的平方，等于兩數的平方和，再加上兩數積的2倍；兩數差的平方，等于兩數的平方和，再減去兩數積的2倍．
用完全平方公式計算，如：計算 和 ．
解：
在運用完全平方公式時，一定要注意公式的符號規則．也要注意，不要犯 這樣的錯誤．
9．整式的除法
在學習整式的乘法時，我們知道單項式乘法的法則：
單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式．
我們也知道除法是乘法的逆運算，也參考乘法的法則，可以得到單項式除法的法則：
單項式相除，把系數、同底數冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數一起作為商的一個因式．
如 ，
．
那么多漏拍項式除以單項式該怎么做呢？我們還是先來看多項式乘以單項式的法則：單項式乘以多項式，按乘法的分配律，用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加．
類推多項式除以單項式的法則：
多項式除以單項式，先把這個多項式的除以單項式，再把所得的商相加．
如 ．
三．例題講評
例1計算：（1） ；（2） ；
（3）．
解：（1） ；
（2） ；
（3）．
說明：運用平方差公式時，一定要分清是哪兩個數的和與差的積，才能分清是 兩個數的平方差．
例2計算：（1） ；（2） ；
（3） ；（4）98×102．
解：（1） ；
（2） ；
（3）
=
=
= ；
（4）98×102=（100—2）×（100+2）=1002—22=10000—4=9996．
例3計算：（1） ；（2） ；
（3） ；
解：（1） ；
（2）
= ；
（3）
= ；
（4）1032=（100+3）2=10000+600+9=10609．
例4計算：（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ．
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
= ；
（5）
=
=4 ．
說明：（5）中雖然是多項式除以多項式，如果把 、 分別看作租前一個整體，就可以當作單項式除以單項式來做．
例5（1）計算： ；
（2）先化簡，再求值： ，其中 ；
（3）計算： ．
（4） ．
解： ；
= ，
（2）當 時，原式= ；
（3）
=
= ．
（4）
=
=
=
=
=
=
注意：（3）中，當指數大于2時，可以先分成平方與另一式子的乘積，運用完全平方公式后再按多項式的乘法計算；（4）中乘上一個（2—1）不改變原式的值，卻可以運用平方差公式．
四．習題
1．計算：
（1） ； （2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ； （6） ；
（7） ；
（8） ；
（9）59×61； （10） ；
（11） ； （12） ．
2．計算：
（1） ；（2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ；（6） ；
（7） ；（8） ；
（9）1042；（10）2982；
（11） ；（12） ；
3．計算：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ； （6） ；
（7） ；（8） ；
（9） ；
（10） ；
4．計算：
（1） ； （2） ；
（3） ；
（4） ；（5） ；
（6） ．
5．化簡與求值：
（1） ，
其中 ， ；
（2） ，其中 ， ；
（3） ，其中 ， ．
6．（1）計算： ；
（2）兩個邊長為a (a>2)厘米的正方形，如果將其中一個正方形的邊長增加2厘米，另一個正方形的邊長減少2厘米，這兩個正方形的總面積是否有變化？如何變化？
五．參考答案
1．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；（7） ；（8） ；（9）3599；
（10）0.9996；（11） ；（12） ．
2．（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6） ；
（7） ；（8） ；（9）10816；（10）88804；
（11）6368.04；（12） ．
3．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；
（6） ；（7） ；（8） ；（9） ;
(10) .
4．(1) ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5）2b；（6）2b．
5．（1）化簡得 ，求值得 ；
（2）化簡得 ，求值得9；
（3）化簡得 ，求值得0.4．
6．（1）原式=20022—（20022—1）=1；
（2）原來兩個正方形面積和為 平方厘米，現為 （平方厘米），增加了8平方厘米．
解1題：因為原代數式是關于X的二次三項式，巖搏所以沒粗鬧祥有三次項
所以三次項系數為0，且二次項彎清系數不能為0
所以
|a|-3=0, 且a-3≠0
所以a=-3
所以
a2-2a-3
=(-3)2-2×(-3)-3
=9+6-3
=12
解2題：mx3+3nxy2-xy2+y
=mx3+(3n-1)xy2+y
因為多項式不含三次項，所以三次項mx3與(3n-1)xy2的系數都應該為0
所以
m=0, 且3n-1=0
所以m=0, n=1/3
所以
2m+3n
=2×0+3×1/3
=0+1
=1
1（2a+b）（a-2b）2（a+b）^23（x^2+xy+y^2）（x^2-xy+y^2）4（2x^4-3x^3+5x^2+x）（-x+1）5（x+1）（x+2）（x+3） 6 (2x＋3y) (3x－2y)7(x＋2)(x＋3)－(x＋6)(x－1)8(3x2＋2x＋1)(2x2＋3x－1)9(3x＋2y)(2x＋3y)－(x－3y)(3x＋4y)
10(3x－1)(4x＋5) 11(－4x－y)(－5x＋2y) 12(x＋3)(x＋4)－(x－1)(x－2)
13(y－1)(y－2)(y－3) 14(x－4)(x－9)15(xy－8a)(xy＋2a).16(a2＋2)(a4－2a2＋4)＋(a2－2)(a4＋2a2＋4)17(2a－3b)(2a＋3b） 18(a+b+c)×(d+e+f) 19(a+b)×(a-b)20(a+b)×(a+b) 20道計算題，再想不到了！
§1-3多項式的乘除運算
壹、補充重點
(1)設A、B為x的多項式，則乘積A′B：
j若A、B之次數分別為m、n，則A′B之次數為(m+n)次。
k若A、B之中有任一為零多項式，則A′B為零多項式，無次數可言。
(2)設兩多項式f (x)、g (x)，其乘積f (x)×g (x)中：
j系數總和：f (x)的系數總和′ g (x)的系數總和。
k常數項：f (x)的常數項′ g (x)的常數項。
lxk的系數：列出乘積中，每一組積為xk之項，分別求它們系數的乘積，相加即得。
(3)設A、B(B10) 兩多項式之次數分別為m、n(m3n)，即A=BQ+R中，jQ的次數為(m-n)次。kR 的次數恒小於B的次數。
(4)多項式除法問題：
設f (x)、廳滑g (x)都是多項式，則有q (x)、r (x)使得
jf (x) = g (x)q (x) + r (x)(被除式=除式′商式+余式)
r (x) = 0或r (x)的次數＜g (x)的次數
k ( =商式+ )
lg (x) = [f(x)-r(x)]÷q(x) (除式= (被除式-余式) ?商式)
mq (x) = [f(x)-r(x)]÷g(x) (商式= (被除式碼伏皮-余式) ?除式)
(5)余式定理活用問題：
j多項式f (x)除以(x-a)之余式R，則R= f (a)。
k多項式f (x)除以ax+b(a10)之余式R，則R=f 。
l若(x-a)整除多項式f (x)，則f (a)=0。
m若ax+b(a10)整除多項式f (x)，則f =0。
貳、例題
例1.多項式A除多項式B，所得之商式為Q，余式為R，則(A)A=BQ+R (B) =Q+R (C) =Q+(D)B=AQ+R 【答：(D)】
解：
例2.多項式A及多項式B分別是x的四次和二次多項式，則(A)A+B為x的五次式 (B)A-B為x的一次式 (C)A B為x的六次式 (D)A B的余式必為x的一次式【答：(C)】
解：
例3.試計算下列各式(結果請降冪排列)
(1)(x2+x+1)(x2-x+1) (2)(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)
(3)(x+1)(x+4)-(x+2)(x+3)(4)(1-6x2)(2x-x2+x3)
(5)(2x3+6x2-7) (2x+1)的商式為？【答：(1)x4+x2+1 (2)x4-5x2+4(3)-2(4)-6x5+6x4-11x3-x2+2x(5)x2+ x- 】
解：
例4.兩多項式乘積(3x2-x+5)(x2+7x)的展開式中，
(1)其系數總和為？(2)x2項系數為？【答：(1)56(2)-2】
解：
例5.設f (x)為多項式且知 = (x+1)+ ，求f (3)之值？
解： 【答： 】
例6.(1)若x-1能整除4x3-3x2+kx+1，試求k之值。
(2)若x2-2x+6能整除x3-3x2 +mx+n，試求m+n之值。
解：【答：(1)-2(2) 2 】
例7.(1)求(x3-2x2+6) (x+1)之商式和余式；
(2)求(x3-2x2+6) (20x+20)之商式和余式；
(3)求(20x3-40x2+120) (x+1)之商式和余式。
【答：(1)商式：x2-3x+3，余式：3(2)商式： - + ，
余式：3(3)商式：20x2-60x+60，余式：60 】
解遲差：
例8.試分別用x的多項式，表出右下圖之面積與周長。
(請按降冪排列作答) 【答：面積：6x2+11x+6；周長：10x+18】
解：
例9.有一數學題：「兩多項式A、B， ，試求A B」結果阿強看成A+B得出答案x2+x-1，阿華看成A-B得出答案x2+4，試求A B之正確答案。 【答：商式：2x+11，余式：29】
解：
參、習題
1.(1)若f (x)為三次多項式，g (x)亦為三次多項式，則f (x)+2g (x)為幾次多項式？
(2)設A = ax3+x2-3，B = -x2+1，若A-xB為x之二次多項式，求a=？
解：
2.試計算下列各式(結果請降冪排列)
(1)(x2-x-2)(x+1) (2)(x-1)(4x2-x+4)-x(2x+3)
(3)(3-2x+x2)(-7-x-3x2) (4)(8x3+2x2-27) (2x-3)的商式
解：
3.若(3x2+ax-6)(2x2+x-1) = 6x4+bx3+cx2-2x+6，求a，b，c之值。
解：
4.(1-2x+3x2-4x3+5x4)2的展開式中，其系數總和為何？
解：
5.設f (x)為多項式，且= x-2+ ，求f (x) =？
解：
6.設2x4-x3+mx2+x+n被2x2+x+1整除，則2m+n =？
解：
7.設兩多項式A、B，若A除以B，得商式Q，余式R，則
(1)2A B之商式和余式為？ (2)A 3B之商式和余式為？
(3)3A之商式和余式為？
解：
8.如圖，所有的轉折點均為直角，試分別用x的多項式，表出右下圖之面積與周長。(請按降冪排列作答)
解：
9.有一數學題：「兩多項式A、B， ，試求A B」結果小郁看成A+B得出答案x2-4x-1，小晴看成A-B得出答案x2-3，試求A B之正確答案。
解：
肆、習題解答
1.(1)小於等於三次(2)-1 2.(1)x3-3x-2(2)4x3-7x2+2x-4
(3)-3x4+5x3-14x2+11x-21(4)4x2+7x+3.a=-4、b= -5
c=-19 4. 9 5. x-1 6.107.(1)商式：2Q，余式：2R
(2)商式： Q，余式：R (3)商式：6Q，余式：3R
8.面積：6x2-20x-92， 周長：10x+32
9.商式： x+ ，余式：
1（2a+b）（a-2b）2（a+b）^23（x^2+xy+y^2）（x^2-xy+y^2）4（2x^4-3x^3+5x^2+x）（-x+1）5（x+1）（x+2）（x+3） 6 (2x＋3y) (3x－2y)7(x＋2)(x＋3)－(x＋6)(x－1)8(3x2＋2x＋1)(2x2＋3x－1)9(3x＋2y)(2x＋3y)－(x－3y)(3x＋4y)
10(3x－1)(4x＋5) 11(－4x－y)(－5x＋2y)
