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反證法首先假設某命題不成立(即在原命題的題設下，結論不成立)，然后推理出明顯矛盾的結果，從而下結論說假設不成立，原命題得證。下面由我給你帶來關于高中數學反證法例題，希望對你有幫助!
高中數學反證法例題一
選擇題
1.否定結論“至多有兩個解”的說法中，正確的是()
A.有一個解
B.有兩個解
C.至少有三個解
D.至少有兩個解
[答案]C
[解析]在邏輯中“至多有n個”的否定是“至少有n+1個”，所以“至多有兩個解”的否定為“至少有三個解”，故應選C.
2.否定“自然數a、b、c中恰有一個偶數”時的正確反設為()
A.a、b、c都是奇數
B.a、b、c或都是奇數或至少有兩個偶數
C.a、b、c都是偶數
D.a、b、c中至少有兩個偶數
[答案]B
[解析]a，b，c三個數的奇、偶性有以下幾種情況：①全是奇數;②有兩個奇數，一個偶數;③有一個奇數，兩個偶數;④三個偶數.因為要否定②，所以假設應為“全是奇數或至少有兩個偶數”.故應選B.
3.用反證法證明命題“三角形的內角中至少有一個不大于60°”時，反設正確的是()
A.假設三內角都不大于60°
B.假設三內角都大于60°
C.假設三內角至多有一個大于60°
D.假設三內角至多有兩個大于60°
[答案]B
[解析]“至少有一個不大于”的否定是“都大于60°”.故應選B.
4.用反證法證明命題：“若整系數一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個殲殲棗是偶數”時，下列假設正確的是()
A.假設a，b，c都是偶數
B.假設a、b，c都不是偶數
C.假設a，b，c至多有一個偶數
D.假設a，b，c至多有兩個偶數
[答案]B
[解析]“至少有一個”反設詞應為“沒有一個”，也就是說本題應假設為a，b，c都不是偶數.
5.命題“△ABC中，若∠A>∠B，則a>b”的結論的否定應該是()
A.a
B.a≤b
C.a=b
D.a≥b
[答案]B
[解析]“a>b”的否定應為“a=b或a
6.已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關系為()
A.一定是異面直線
B.一定是相交直線
C.不可能是平行直線改顫
D.不可能是相交直線
[答案]C
[解析]假設c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線.故應選C.
7.設a，b，c∈(-∞，0)，則三數a+1b，c+1a，b+1c中()
A.都不大于-2
B.都不小于-2
C.至少有一個不大于-2
D.至少有一個不小于-2
[答案]C
[解析]a+1b+c+1a+b+1c
=a+1a+b+1b+c+1c
∵a，b，c∈(-∞，0)，
∴a+1a=--a+-1a≤-2
b+1b=--b+-1b≤-2
c+1c=--c+-1c≤-2
∴a+1b+c+1a+b+1c≤-6
∴三數a+1b、c+1a、b+1c中至少有一個不大于-2，故應選C.
8.若P是兩條異面直線l、m外的任意一點，則()
A.過點P有且僅有一條直線與l、m都平行
B.過點P有且僅有一條直線與l、m都垂直
C.過點P有且僅有一條直線與l、m都相交氏拆
D.過點P有且僅有一條直線與l、m都異面
[答案]B
[解析]對于A，若存在直線n，使n∥l且n∥m
則有l∥m，與l、m異面矛盾;對于C，過點P與l、m都相交的直線不一定存在，反例如圖(l∥α);對于D，過點P與l、m都異面的直線不唯一.
9.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎”，乙說：“甲、丙都未獲獎”，丙說：“我獲獎了”，丁說：“是乙獲獎了”，四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是()
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
[答案]C
[解析]因為只有一人獲獎，所以丙、丁只有一個說對了，同時甲、乙中只有一人說對了，假設乙說的對，這樣丙就錯了，丁就對了，也就是甲也對了，與甲錯矛盾，所以乙說錯了，從而知甲、丙對，所以丙為獲獎歌手.故應選C.
10.已知x1>0，x1≠1且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1(n=1,2…)，試證“數列{xn}或者對任意正整數n都滿足xnxn+1”，當此題用反證法否定結論時，應為()
A.對任意的正整數n，都有xn=xn+1
B.存在正整數n，使xn=xn+1
C.存在正整數n，使xn≥xn+1且xn≤xn-1
D.存在正整數n，使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0
[答案]D
[解析]命題的結論是“對任意正整數n，數列{xn}是遞增數列或是遞減數列”，其反設是“存在正整數n，使數列既不是遞增數列，也不是遞減數列”.故應選D.
高中數學反證法例題二
填空題
11.命題“任意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形”的結論的否定是________.
[答案]沒有一個是三角形或四邊形或五邊形
[解析]“至少有一個”的否定是“沒有一個”.
12.用反證法證明命題“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”，那么反設的內容是________________.
[答案]a，b都不能被5整除
[解析]“至少有一個”的否定是“都不能”.
13.用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，這與三角形內角和為180°相矛盾，則∠A=∠B=90°不成立;
②所以一個三角形中不能有兩個直角;
③假設∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角，不妨設∠A=∠B=90°.
正確順序的序號排列為____________.
[答案]③①②
[解析]由反證法證明的步驟知，先反證即③，再推出矛盾即①，最后作出判斷，肯定結論即②，即順序應為③①②.
14.用反證法證明質數有無限多個的過程如下：
假設______________.設全體質數為p1、p2、…、pn，令p=p1p2…pn+1.
顯然，p不含因數p1、p2、…、pn.故p要么是質數，要么含有______________的質因數.這表明，除質數p1、p2、…、pn之外，還有質數，因此原假設不成立.于是，質數有無限多個.
[答案]質數只有有限多個除p1、p2、…、pn之外
[解析]由反證法的步驟可得.
高中數學反證法例題三
解答題
15.已知：a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0.
求證：a>0，b>0，c>0.
[證明]用反證法：
假設a，b，c不都是正數，由abc>0可知，這三個數中必有兩個為負數，一個為正數，
不妨設a<0，b<0，c>0，則由a+b+c>0，
可得c>-(a+b)，
又a+b<0，∴c(a+b)<-(a+b)(a+b)
ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab
即ab+bc+ca<-a2-ab-b2
∵a2>0，ab>0，b2>0，∴-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0，即ab+bc+ca<0，
這與已知ab+bc+ca>0矛盾，所以假設不成立.
因此a>0，b>0，c>0成立.
16.已知a，b，c∈(0,1).求證：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同時大于14.
[證明]證法1：假設(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正數，∴1-a、1-b、1-c都是正數.(1-a)+b2≥(1-a)b>14=12，
同理(1-b)+c2>12，(1-c)+a2>12.
三式相加，得
(1-a)+b2+(1-b)+c2+(1-c)+a2>32，
即32>32，矛盾.
所以(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于14.
證法2：假設三個式子同時大于14，即(1-a)b>14，(1-b)c>14，(1-c)a>14，三式相乘得
(1-a)b(1-b)c(1-c)a>143①
因為0
同理，0
所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤143.②
因為①與②矛盾，所以假設不成立，故原命題成立.
17.已知函數f(x)是(-∞，+∞)上的增函數，a，b∈R.
(1)若a+b≥0，求證：f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b);
(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結論.
[解析](1)證明：∵a+b≥0，∴a≥-b.
由已知f(x)的單調性得f(a)≥f(-b).
又a+b≥0?b≥-a?f(b)≥f(-a).
兩式相加即得：f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
(2)逆命題：
f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)?a+b≥0.
下面用反證法證之.
假設a+b<0，那么：
a+b<0?a<-b?f(a)
?f(a)+f(b)
這與已知矛盾，故只有a+b≥0.逆命題得證.
18.(2010?湖北理，20改編)已知數列{bn}的通項公式為bn=1423n-1.求證：數列{bn}中的任意三項不可能成等差數列.
[解析]假設數列{bn}存在三項br、bs、bt(rbs>br，則只可能有2bs=br+bt成立.
∴2?1423s-1=1423r-1+1423t-1.
兩邊同乘3t-121-r，化簡得3t-r+2t-r=2?2s-r3t-s，
由于r
故數列{bn}中任意三項不可能成等差數列.
軌跡方程就是與幾何軌跡對應的代數描述。符合一定條件的動點所形成的圖形，或者說，符合一定條件的點的全體所組成的集合，叫做滿足該條件的點的軌跡。下面是我為大家整理的關于高中數學求軌跡方法及例題，希望對您有所幫助。歡迎大家閱讀參考學習!
1高中數學求軌跡方法及例題
軌跡，包含兩個方面的問題：凡在軌跡上的點都符合給定的條件，這叫做軌跡的純粹性(也叫做必要性);凡不在軌跡上的點都不符合。求軌跡方程的方法有多種，常用的有直譯法、定義法、相關點法、參數法和交軌法等。
2常用方法
在求動點軌跡時，有時會出現要求兩動曲線交點的軌跡問題，這燈問題通常通過解方程組得出交點(含參數)的坐標，再消去參數求得所求的軌跡方程(若能直接消去兩方程的參數，也可直接消去參數得到軌跡方程)，該法經常與參數法并用。將兩動曲線方程中的參數消去，得到不含參數的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。
如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。待定系數法：如果動點P的運動規律合乎我們已知的某種曲線(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線)的定義，則可先設出軌跡方程，再根據已知條件，待定方程中的常數，即可得到軌跡方程，也有人將此方法稱為定義法。通過圖形的幾何性質判斷動點的軌跡是何種圖形，再求其軌跡方程，這種方法叫做定義法，運用定義法，求其軌跡，一要熟練掌握常用軌跡的定義，如線段的垂直平分線，圓、橢圓、雙曲線、拋物線等，二是熟練掌握平面幾何的一些性質定理。
3解題步驟
建立適當的坐標系，設出動點M的坐標;寫出點M的集合;列出方程=0;化簡方程為最簡形式;檢驗。
①建系——建立適當的坐標系;
②設點——設軌跡上的任一點P(x，y);
③列式——列出動點p所滿足的關系式;
④代換——依條件的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為關于X，Y的方程式，并化簡;
⑤證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程。
要注意有的軌跡問題包含一定隱含條件，也就是曲線上點的坐標的取值范圍.由曲線和方程的概念可知，在求曲線方程時一定要注意它的"完備性"和"純粹性"，即軌跡若是曲線的一部分，應對方程答穗注明的取值范圍，或同時注明亂搜的取值范圍。"軌跡"與"軌跡方程"既有區別又有聯系，求"軌跡"時首先要求出"軌跡方程"，然后再說明方程的軌跡圖形，最后"補漏"和"去掉增多"的點，若軌跡有不同的情況，應分別討論，以保證它的完整性。
4學習注意
求軌跡方程的關鍵是在紛繁復雜的運動變化中，發現動點P的運動規律，即P點滿足的等量關系，因此要學會動中求靜，變中求不變。軌跡方程既可用普通方程表示，又可用參數方程來表示，若要判斷軌跡方程表示何種曲線，則往往需將參數方程化為普通方程。
求出軌跡方程后，應注意檢驗其是否符合題意，既要檢驗是否增解，(即以該方程的某些解為坐標的點不在軌跡上)，又要檢驗是否丟解。(即軌跡上的某些點未能用所求的方程表示)，出現增解則要舍去，出現丟解，則需補充。檢驗方法：研究運動中的特殊情形或極端情形。
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我摘抄幾道給你當樣例：
例子一：
x=cosa y=sina
u=(cosa+2)/(sina+2)
usina+2u=cosa+2
2u=cosa-usina+2
=根號（1+u^2)sin(a+b)＋2
－根號（1+u^2）<=2u-2<＝根號（1+u^2）
4-根號7<=u<=4＋根號7
2
(x-3)^2+y^2=9
x-3=3cosa
y=3sina
所以
x=3+cosa
y=sina
例子改粗二：
已知直線L的參數方程為x=2t,y=1+4t(t為參數)，圓C的極坐標方程為Ρ=2√2sinΘ,則直線L與圓C的位置關系
解答：
直線y=1+2x,即2x-y+1=0
圓Ρ^2=2√2PsinΘ
x2+y2=2√2y
圓心（0，√2) ，半徑√2
圓心到直線的距離為1/√5<半徑，
所以直線與圓相交
例子三：
已知曲線C的極坐標方程是ρ=2sinθ,直線L的參友殲凳數方程是x=-3/5t+2,y=4/5t﹙t為參數﹚設直線L與X軸的交點是M,N是曲線C上一動點，則│MN的最大值為？│
解答：
將直線l的參數方程化為直角坐標方程，
得y=-4/3(x-2),令y=0，得x=2，
輯M點的坐標為（2，好旅0），又曲線C為圓，圓C的圓心坐標為（0,1），半徑r=1,
則|MC|=根號5
所以|MN|小于等于|MC|+r=根號5+1,
所以最后結果| MN|的最大值 為（根號5+1）
但愿對你有幫助！！！！！！望采納！！！！！
高中數學函數知識點總結 一次函數
一、定義與定義式：
自變量x和因變量y有如下關系：
y=kx+b
則此時稱y是x的一次函數。
特別地，當b=0時，y是x的正比例函數。
即：y=kx (k為常數，k≠0)
二、一次函數的性質：
1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k
即：y=kx+b (k為任意不為零的實數 b取任何實數)
2.當x=0時，b為函數在y軸上的截距。
滾喚三、一次函數的圖像及性質：
1.作法與圖形：通過如下3個步驟
(1)列表;
(2)描點;
(3)連線，可以作出一次函數的圖像——一條直線。因此，作一次函數的圖像只需知道2點，并連成直線即可。(通常找函數圖像與x軸和y軸的交點)
2.性質：(1)在一次函數上的任意一點P(x，y)，都滿足等式：y=kx+b。(2)一次函數與y軸交點的坐標總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數的圖像總是過原點。
3.k，b與函數圖像所在象限：
當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;
當k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。
當b>0時，直線必通過一、二象限;
當b=0時，直線通過原點
當b<0時，直線必通過三、四象限。
特別地，當b=O時，直線通過原點O(0，0)表示的是正比例函數的圖像。
這時，當k>0時，直線只通過一、三象限;當k<0時，直線只通過二、四象限。
四、確定一次函數的表達式：
已知點A(x1，y1);B(x2，y2)，請確定過點A、B的一次函數的表達式。
(1)設一次函數的表達式(也叫解析式)為y=kx+b。
(2)因為在一次函數上的任意一點P(x，y)，都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
(3)解這個二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函數的表達式。
五、一次函數在生活中的應用：
1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。
2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。
六、常用公式：(不全，希望有人補充)
1.求函數圖像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)
2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2
3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2
4.求任意線段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 (注：根號下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)
耐備散二次函數
I.定義與定義表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：
y=ax^2+bx+c
(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大昌氏.)
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數的三種表達式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)
頂點式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P(h，k)]
交點式：y=a(x-x?)(x-x ?) [僅限于與x軸有交點A(x? ，0)和 B(x?，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函數的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，
可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P，坐標為
P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0，c)
6.拋物線與x軸交點個數
Δ= b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ= b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)
V.二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數(以下稱函數)y=ax^2+bx+c，
當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程(以下稱方程)，
即ax^2+bx+c=0
此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
1.二次函數y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
解析式 頂點坐標 對 稱 軸
y=ax^2 (0，0) x=0
y=a(x-h)^2 (h，0) x=h
y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h
y=ax^2+bx+c (-b/2a，[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a
當h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到.
當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的圖象;
當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小;當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大.若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大;當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小.
4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c);
(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x?-x?|
當△=0.圖象與x軸只有一個交點;
當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0;當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0.
5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值.
6.用待定系數法求二次函數的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).
7.二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現.
反比例函數
形如 y=k/x(k為常數且k≠0) 的函數，叫做反比例函數。
自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數。
反比例函數圖像性質：
反比例函數的圖像為雙曲線。
由于反比例函數屬于奇函數，有f(-x)=-f(x),圖像關于原點對稱。
另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。
如圖，上面給出了k分別為正和負(2和-2)時的函數圖像。
當K>0時，反比例函數圖像經過一，三象限，是減函數
當K<0時，反比例函數圖像經過二，四象限，是增函數
反比例函數圖像只能無限趨向于坐標軸，無法和坐標軸相交。
知識點：
1.過反比例函數圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為| k |。
2.對于雙曲線y=k/x ，若在分母上加減任意一個實數 (即 y=k/(x±m)m為常數)，就相當于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。(加一個數時向左平移，減一個數時向右平移)
對數函數
對數函數的一般形式為 ，它實際上就是指數函數 的反函數。因此指數函數里對于a的規定，同樣適用于對數函數。
右圖給出對于不同大小a所表示的函數圖形：
可以看到對數函數的圖形只不過的指數函數的圖形的關于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數。
(1)對數函數的定義域為大于0的實數集合。
(2)對數函數的值域為全部實數集合。
(3)函數總是通過(1，0)這點。
(4)a大于1時，為單調遞增函數，并且上凸;a小于1大于0時，函數為單調遞減函數，并且下凹。
(5)顯然對數函數無界。
指數函數
指數函數的一般形式為 ，從上面我們對于冪函數的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，則只有使得
如圖所示為a的不同大小影響函數圖形的情況。
可以看到：
(1) 指數函數的定義域為所有實數的集合，這里的前提是a大于0，對于a不大于0的情況，則必然使得函數的定義域不存在連續的區間，因此我們不予考慮。
(2) 指數函數的值域為大于0的實數集合。
(3) 函數圖形都是下凹的。
(4) a大于1，則指數函數單調遞增;a小于1大于0，則為單調遞減的。
(5) 可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向于無窮大的過程中(當然不能等于0)，函數的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。
(6) 函數總是在某一個方向上無限趨向于X軸,永不相交。
(7) 函數總是通過(0，1)這點。
(8) 顯然指數函數無界。
奇偶性
注圖：(1)為奇函數(2)為偶函數
1.定義
一般地，對于函數f(x)
(1)如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數。
(2)如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數。
(3)如果對于函數定義域內的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立，那么函數f(x)既是奇函數又是偶函數，稱為既奇又偶函數。
(4)如果對于函數定義域內的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那么函數f(x)既不是奇函數又不是偶函數，稱為非奇非偶函數。
說明：①奇、偶性是函數的整體性質，對整個定義域而言
②奇、偶函數的定義域一定關于原點對稱，如果一個函數的定義域不關于原點對稱，則這個函數一定不是奇(或偶)函數。
(分析：判斷函數的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關于原點對稱，然后再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f(x)比較得出結論)
③判斷或證明函數是否具有奇偶性的根據是定義
2.奇偶函數圖像的特征：
定理 奇函數的圖像關于原點成中心對稱圖表，偶函數的圖象關于y軸或軸對稱圖形。
f(x)為奇函數《==》f(x)的圖像關于原點對稱
點(x,y)→(-x,-y)
奇函數在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上也是單調遞增。
偶函數 在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上單調遞減。
3. 奇偶函數運算
(1) . 兩個偶函數相加所得的和為偶函數.
(2) . 兩個奇函數相加所得的和為奇函數.
(3) . 一個偶函數與一個奇函數相加所得的和為非奇函數與非偶函數.
(4) . 兩個偶函數相乘所得的積為偶函數.
(5) . 兩個奇函數相乘所得的積為偶函數.
(6) . 一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積為奇函數.
定義域
(高中函數定義)設A,B是兩個非空的數集，如果按某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f:A--B為集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x),x屬于集合A。其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數的定義域;
值域
名稱定義
函數中，應變量的取值范圍叫做這個函數的值域函數的值域,在數學中是函數在定義域中應變量所有值的集合
常用的求值域的方法
(1)化歸法;(2)圖象法(數形結合)，
(3)函數單調性法，
(4)配方法，(5)換元法，(6)反函數法(逆求法)，(7)判別式法，(8)復合函數法，(9)三角代換法，(10)基本不等式法等
關于函數值域誤區
定義域、對應法則、值域是函數構造的三個基本“元件”。平時數學中，實行“定義域優先”的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學生對函數的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當的，絕不能厚此薄皮，何況它們二者隨時處于互相轉化之中(典型的例子是互為反函數定義域與值域的相互轉化)。如果函數的值域是無限集的話，那么求函數值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時并不能奏效，還必須聯系函數的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數的取值情況。才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難，實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利于對定義域內函的理解，從而深化對函數本質的認識。
“范圍”與“值域”相同嗎?
“范圍”與“值域”是我們在學習中經常遇到的兩個概念，許多同學常常將它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念。“值域”是所有函數值的集合(即集合中每一個元素都是這個函數的取值)，而“范圍”則只是滿足某個條件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都滿足這個條件)。也就是說:“值域”是一個“范圍”，而“范圍”卻不一定是“值域”。
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16．充要條件
（1）充分條件：若 ，則 是 充分條件.
（2）必要條件：若 ，則 是 必要條件.
（3）充要條件：若 ，且 ，則 是 充要條件.
注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.
函數
17．函數的單調性
(1)設 那么
上是增函數；
上是減函數.
(2)設函數 在某個區間內可導，如果 ，則 為增函數；如果 ，則 為減函數.
如果函數 和 都是減函數,則在公共定義域內,和函數 也是減函數; 如果函數 和 在其對應的定義域上都是減函數,則復合函數 是增函數.
18．奇偶函數的圖象特征
奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱;在對稱區間上，奇函數的單調性相同，歐函數相反；如果一個函數的圖象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數；如果一個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函數是偶函數，如果一個奇函數的定義域包括0，則必有f(0)=0;
(1)若函數 是偶函數，則 ；若函數 是偶函數，則 .
(2)對于函數 ( ), 恒成立,則函數 的對稱軸是函數 ;兩個函數 與的圖象關于直線 對稱.
(3)若 ,則函數 的圖象關于點 對稱; 若 ,則函數 為周期為 的周期函數.
19．多項式函數 的奇偶性
多項式函數 是奇函數的偶次項(即奇數項)的系數全為零.
多項式函數 是偶函數的奇次項(即偶數項)的系數全為零.
20．函數 的圖象的對稱性
(1)函數 的圖象關于直線 對稱.
(2)函數 的圖象關于直線 對稱
.
21．兩個函數圖象的對稱性
(1)函數 與函數 的圖象關于直線 (即 軸)對稱.
(2)函數 與函數 的圖象關于直線 對稱.
(3)函數 和 的圖象關于直線y=x對稱.
22．若將函數 的圖象右移 、上移 個單位，得到函數 的圖象譽告；若將曲線 的圖象右移 、上移 個單位，得到曲線 的圖象.
23．互為反函數的兩個函數的關系
.
若函數 存在反函數,則其反函數為 ,并不是 ,而函數 是 的反函數.
24．幾個常見的函數方程
(1)正比例函數 , .
(2)指數函數 , .
(3)對數函數 , .
(4)冪函數 , .
(5)余弦函數 ,正弦函數 ， ，
.
25．幾個函數方程的周期(約定a>0)
(1) ，則 的周期T=a；
(2) ，或 ，
或,或 ,則 的周期T=2a；
(3) ，則 的周期T=3a；
(4) 且 ，則 的周期T=4a；
(5)
,則 的周期T=5a；
(6) ，則 的周期T=6a.
指數與對數
47．實數與向量的積的運算律
設λ、μ為實數，那么
(1) 結合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
48．向量的數量積的運算律
(1) a?b= b?a （交換律）;(2)（ a）?b=（a?b）= a?b= a?（ b）;
(3)（a+b）?c= a ?c +b?c.
49．平面向量基本定理
如果e1、森虛乎e 2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．
50．向量平行的坐標表示
設a= ,b= ，且b 0，則a b(b 0) .
51．a與b的數量積(或內積)
a?b=|a||b|cosθ．
52．a?b的幾何意義
數量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．
53．平面向量的坐標運算
(1)設a= ,b= ，則a+b= .
(2)設a= ,b= ，則a-b= .
(3)設A ，B ,則 .
(4)設a= ，則 a= .
(5)設a= ,b= ，則a?b= .
54．兩向量的夾角公式
(a= ,b= ).
55．平面兩點間的距離公式
=(A ，B ).
56．向量的平行與垂直
設a= ,b= ，且b 0，則
A||b b=λa.
a b(a 0) a?b=0 .
57．線段的定比分公式
設 ， ， 是線段 的分點, 是實數，且 ，則
（ ）.
58．三角形的重心坐標公式
△ABC三個頂點的坐標分別為 、 、 ,則△ABC的重心的坐標是 .
59．點的平移公式
.
注:圖形F上的任意一點P(x，y)在平移后圖形 上的對應點為 ，且 的坐標為 .
60．“按此悉向量平移”的幾個結論
(1)點 按向量a= 平移后得到點 .
(2) 函數 的圖象 按向量a= 平移后得到圖象 ,則 的函數解析式為 .
(3) 圖象 按向量a= 平移后得到圖象 ,若 的解析式 ,則 的函數解析式為 .
(4)曲線 : 按向量a= 平移后得到圖象 ,則 的方程為 .
(5) 向量m= 按向量a= 平移后得到的向量仍然為m= .
61．三角形五“心”向量形式的充要條件
設 為 所在平面上一點，角 所對邊長分別為 ，則
（1） 為 的外心 .
（2） 為 的重心 .
（3） 為 的垂心 .
（4） 為 的內心 .
（5） 為 的 的旁心 .
不等式
62．常用不等式：
（1） (當且僅當a＝b時取“=”號)．
（2） (當且僅當a＝b時取“=”號)．
（3）
（4）柯西不等式
（5） .
63．極值定理
已知 都是正數，則有
（1）若積 是定值 ，則當 時和 有最小值 ；
（2）若和 是定值 ，則當 時積 有最大值 .
推廣 已知 ，則有
（1）若積 是定值,則當 最大時, 最大；
當 最小時, 最小.
（2）若和 是定值,則當 最大時,最小；
當 最小時,最大.
64．一元二次不等式，如果 與 同號，則其解集在兩根之外；如果 與 異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.
；
.
65．含有絕對值的不等式
當a> 0時，有
.
或 .
66．無理不等式
（1）.
（2） .
（3） .
67．指數不等式與對數不等式
(1)當 時,
;
.
(2)當 時,
;
直線方程
68．斜率公式
① （ 、 ）.②k=tanα(α為直線傾斜角）
69．直線的五種方程
(1)點斜式 (直線 過點 ，且斜率為 )．
(2)斜截式(b為直線 在y軸上的截距).
(3)兩點式( )( 、( )).
(4)截距式 ( 分別為直線的橫、縱截距， )
(5)一般式(其中A、B不同時為0).
70．兩條直線的平行和垂直
(1)若 ，
① ;
② .
(2)若 , ,且A1、A2、B1、B2都不為零,
① ；
②兩直線垂直的充要條件是；即：
71．夾角公式
(1) .
( ， , )
(2) .
( , , ).
72． 到 的角公式
(1) .
( ， , )
(2) .
( , , ).
直線 時，直線l1到l2的角是 .
73．四種常用直線系方程
(1)定點直線系方程：經過定點 的直線系方程為 (除直線 ),其中 是待定的系數; 經過定點 的直線系方程為 ,其中 是待定的系數．
(2)共點直線系方程：經過兩直線 , 的交點的直線系方程為 (除 )，其中λ是待定的系數．
(3)平行直線系方程：直線 中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線 平行的直線系方程是 ( )，λ是參變量．
(4)垂直直線系方程：與直線(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是 ,λ是參變量．
74．點到直線的距離
(點 ,直線 ： ).
75． 或 所表示的平面區域
設直線 ，若A>0,則在坐標平面內從左至右的區域依次表示， ，若A<0,則在坐標平面內從左至右的區域依次表示， ，可記為“x 為正開口對，X為負背靠背“。（正負指X的系數A，開口對指”<>"，背靠背指"><"）
76． 或 所表示的平面區域
設曲線 （ ），則
或 所表示的平面區域是：
所表示的平面區域上下兩部分；
所表示的平面區域上下兩部分.
圓
77．圓的四種方程
(1)圓的標準方程.
(2)圓的一般方程( ＞0).
(3)圓的參數方程.
(4)圓的直徑式方程(圓的直徑的端點是 、 ).
78．圓系方程
(1)過點 , 的圓系方程是
,其中 是直線 的方程,λ是待定的系數．
(2)過直線 : 與圓 : 的交點的圓系方程是 ,λ是待定的系數．
(3) 過圓 : 與圓 : 的交點的圓系方程是 ,λ是待定的系數．
79．點與圓的位置關系
點 與圓 的位置關系有三種
若 ，則
點 在圓外;
點 在圓上;
點 在圓內.
80．直線與圓的位置關系
直線 與圓 的位置關系有三種:
;
;
.
其中 .
81．兩圓位置關系的判定方法
設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，
;
;
;
;
.
82．圓的切線方程
(1)已知圓 ．
①若已知切點 在圓上，則切線只有一條，其方程是
.
當 圓外時,表示過兩個切點的切點弦方程．
②過圓外一點的切線方程可設為 ，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．
③斜率為k的切線方程可設為 ，再利用相切條件求b，必有兩條切線．
(2)已知圓 ．
①過圓上的 點的切線方程為 ;
②斜率為 的圓的切線方程為 .
橢圓
83．橢圓 的參數方程是 .
84．橢圓 焦半徑公式
， ,
85．焦點三角形：P為橢圓 上一點，則三角形 的面積S= 特別地，若 此三角形面積為 ；
86．在橢圓 上存在點P，使 的條件是c≥b,即橢圓的離心率e的范圍是 ；
87．橢圓的的內外部
(1)點 在橢圓 的內部 .
(2)點 在橢圓 的外部 .
88．橢圓的切線方程
(1)橢圓 上一點 處的切線方程是 .
(2)過橢圓 外一點 所引兩條切線的切點弦方程是 .
(3)橢圓 與直線 相切的條件是 .
雙曲線
89．雙曲線 的焦半徑公式
， .
90．雙曲線的內外部
(1)點 在雙曲線 的內部 .
(2)點 在雙曲線 的外部 .
91．雙曲線的方程與漸近線方程的關系
(1)若雙曲線方程為漸近線方程：.
(2)若漸近線方程為雙曲線可設為 .
(3)若雙曲線與 有公共漸近線，可設為 （ ，焦點在x軸上， ，焦點在y軸上）.
92．雙曲線的切線方程
(1)雙曲線 上一點 處的切線方程是 .
(2)過雙曲線 外一點 所引兩條切線的切點弦方程是
.
(3雙曲線 與直線 相切的條件是 .
93．到漸近線的距離等于虛半軸的長度（即b值）
拋物線
94．焦點與半徑
95．焦半徑公式
拋物線 ，C為拋物線上一點，焦半徑 .
96．過焦點弦長 .
對焦點在y軸上的拋物線有類似結論。
97．設點方法
拋物線 上的動點可設為P 或P ，其中.
二次函數
98．的圖象是拋物線：
(1)頂點坐標為 ；
(2)焦點的坐標為 ；
(3)準線方程是 .
99．拋物線的內外部
(1)點 在拋物線 的內部 .
點 在拋物線 的外部 .
(2)點 在拋物線 的內部 .
點 在拋物線 的外部 .
(3)點 在拋物線 的內部 .
點 在拋物線 的外部 .
(4) 點 在拋物線 的內部 .
點 在拋物線 的外部 .
100．拋物線的切線方程
(1)拋物線 上一點 處的切線方程是 .
(2)過拋物線 外一點 所引兩條切線的切點弦方程是 .
(3)拋物線 與直線 相切的條件是 .
101．過拋物線 （p>0)的焦點F的直線與拋物線相交于
圓錐曲線共性問題
120．兩個常見的曲線系方程
(1)過曲線 , 的交點的曲線系方程是
( 為參數).
(2)共焦點的有心圓錐曲線系方程 ,其中 .當 時,表示橢圓; 當 時,表示雙曲線.
103．直線與圓錐曲線相交的弦長公式
或
（弦端點A
由方程消去y得到 ， , 為直線 的傾斜角， 為直線的斜率）.
104．涉及到曲線上的點A，B及線段AB的中點M的關系時，可以利用“點差法：
比如在橢圓中：
105．圓錐曲線的兩類對稱問題
（1）曲線 關于點 成中心對稱的曲線是 .
（2）曲線 關于直線 成軸對稱的曲線是
.
106．“四線”一方程
對于一般的二次曲線 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，即得方程
，曲線的切線，切點弦，中點弦，弦中點方程均是此方程得到.
立體幾何
107．證明直線與直線的平行的思考途徑
（1）轉化為判定共面二直線無交點；
（2）轉化為二直線同與第三條直線平行；
（3）轉化為線面平行；
（4）轉化為線面垂直；
（5）轉化為面面平行.
108．證明直線與平面的平行的思考途徑
（1）轉化為直線與平面無公共點；
（2）轉化為線線平行；
（3）轉化為面面平行.
109．證明平面與平面平行的思考途徑
（1）轉化為判定二平面無公共點；
（2）轉化為線面平行；
（3）轉化為線面垂直.
110．證明直線與直線的垂直的思考途徑
（1）轉化為相交垂直；
（2）轉化為線面垂直；
（3）轉化為線與另一線的射影垂直；
（4）轉化為線與形成射影的斜線垂直.
111．證明直線與平面垂直的思考途徑
（1）轉化為該直線與平面內任一直線垂直；
（2）轉化為該直線與平面內相交二直線垂直；
（3）轉化為該直線與平面的一條垂線平行；
（4）轉化為該直線垂直于另一個平行平面；
（5）轉化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.
112．證明平面與平面的垂直的思考途徑
（1）轉化為判斷二面角是直二面角；
（2）轉化為線面垂直.
113．空間向量的加法與數乘向量運算的運算律
(1)加法交換律：a＋b=b＋a．
(2)加法結合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)數乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
114．平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣
始點相同且不在同一個平面內的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量.
115．共線向量定理
對空間任意兩個向量a、b(b≠0 )，a‖b 存在實數λ使a=λb．
三點共線.
、 共線且 不共線且 不共線.
116．共面向量定理
向量p與兩個不共線的向量a、b共面的 存在實數對 ,使 ．
推論空間一點P位于平面MAB內的 存在有序實數對 ,使 ，
或對空間任一定點O，有序實數對 ，使 .
117．對空間任一點 和不共線的三點A、B、C，滿足 （ ），則當 時，對于空間任一點 ，總有P、A、B、C四點共面；當 時，若 平面ABC，則P、A、B、C四點共面；若 平面ABC，則P、A、B、C四點不共面．
四點共面與 、 共面
（ 平面ABC）.
118．空間向量基本定理
如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推論設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序實數x，y，z，使 .
119．射影公式
已知向量 =a和軸 ，e是 上與 同方向的單位向量.作A點在 上的射影 ，作B點在 上的射影 ，則
〈a，e〉=a?e
120．向量的直角坐標運算
設a＝ ，b＝ 則
(1)a＋b＝ ；
(2)a－b＝ ；
(3)λa＝(λ∈R)；
(4)a?b＝ ；
121．設A ，B ，則
=.
122．空間的線線平行或垂直
設 ， ，則
；
.
123．夾角公式
設a＝ ，b＝ ，則
cos〈a，b〉= .
推論，此即三維柯西不等式.
124．四面體的對棱所成的角
四面體 中,與 所成的角為 ,則
.
125．異面直線所成角
=
（其中 （ ）為異面直線 所成角， 分別表示異面直線 的方向向量）
126．直線 與平面所成角
( 為平面 的法向量).
127．若 所在平面若 與過若 的平面 成的角 ,另兩邊 , 與平面 成的角分別是 、 , 為 的兩個內角，則
.
特別地,當 時,有
.
128．若 所在平面若 與過若 的平面 成的角 ,另兩邊 , 與平面 成的角分別是 、 , 為 的兩個內角，則
.
特別地,當 時,有
.
129．二面角 的平面角
或 （ ， 為平面 ， 的法向量）.
130．三余弦定理
設AC是α內的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設AO與AB所成的角為 ，AB與AC所成的角為 ，AO與AC所成的角為 ．則 .
131．三射線定理
若夾在平面角為 的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是 , ,與二面角的棱所成的角是θ，則有;
(當且僅當 時等號成立).
132．空間兩點間的距離公式
若A ，B ，則
=.
133．點 到直線 距離
(點 在直線 上，直線 的方向向量a= ，向量b= ).
134．異面直線間的距離
( 是兩異面直線，其公垂向量為 ， 分別是 上任一點， 為 間的距離).
135．點 到平面 的距離
（ 為平面 的法向量， 是經過面 的一條斜線， ）.
136．異面直線上兩點距離公式
.
.
（ ）.
(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段 的長度為h.在直線a、b上分別取兩點E、F， , , ).
137．三個向量和的平方公式
138．長度為 的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為 ，夾角分別為 ,則有
.
（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.
139．面積射影定理
.
(平面多邊形及其射影的面積分別是 、 ，它們所在平面所成銳二面角的為 ).
140．斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的側棱長是 ,側面積和體積分別是 和 ,它的直截面的周長和面積分別是 和 ,則
① .
② .
141．作截面的依據
三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或互相平行.
142．棱錐的平行截面的性質
如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比（對應角相等，對應邊對應成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應邊的比的平方）；相應小棱錐與小棱錐的側面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比．
143．歐拉定理(歐拉公式)
(簡單多面體的頂點數V、棱數E和面數F).
（1） =各面多邊形邊數和的一半.特別地,若每個面的邊數為 的多邊形，則面數F與棱數E的關系： ；
（2）若每個頂點引出的棱數為 ，則頂點數V與棱數E的關系： .
144．球的半徑是R，則
其體積 ,
其表面積 ．
145．球的組合體
(1)球與長方體的組合體:
長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.
(2)球與正方體的組合體:
正方體的內切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.
(3) 球與正四面體的組合體:
棱長為 的正四面體的內切球的半徑為 ,外接球的半徑為 .
146．柱體、錐體的體積
（ 是柱體的底面積、 是柱體的高）.
（ 是錐體的底面積、 是錐體的高）.
排列組合
147．分類計數原理（加法原理）
.
148．分步計數原理（乘法原理）
.
149．排列數公式
= = .( ， ∈N*，且 )．
注:規定 .
150．排列恒等式
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) .
(6).
151．組合數公式
= = = ( ∈N*， ，且 ).
152．組合數的兩個性質
(1) =;
(2)+ = .
注:規定 .
153．組合恒等式
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) = ;
(5) .
(6) .
(7) .
(8) .
(9) .
(10) .
154．排列數與組合數的關系
.
155．單條件排列
以下各條的大前提是從 個元素中取 個元素的排列.
（1）“在位”與“不在位”
①某（特）元必在某位有 種；②某（特）元不在某位有 （補集思想） （著眼位置） （著眼元素）種.
（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）
①定位緊貼： 個元在固定位的排列有 種.
②浮動緊貼： 個元素的全排列把k個元排在一起的排法有 種.
注：此類問題常用捆綁法；
③插空：兩組元素分別有k、h個（ ），把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有排列數有 種.
（3）兩組元素各相同的插空
個大球 個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？
當 時，無解；當 時，有 種排法.
（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數為 .
156．分配問題
（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的 、 個物件等分給 個人，各得 件，其分配方法數共有 .
（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的 ? 個物體等分為無記號或無順序的 堆，其分配方法數共有
.
（3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的 個物體分給 個人，物件必須被分完，分別得到 ， ，…， 件，且 ， ，…， 這 個數彼此不相等，則其分配方法數共有 .
（4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的 個物體分給 個人，物件必須被分完，分別得到 ， ，…， 件，且 ， ，…， 這 個數中分別有a、b、c、…個相等，則其分配方法數有 .
（5）(非平均分組無歸屬問題)將相異的 個物體分為任意的 ， ，…， 件無記號的 堆，且 ， ，…， 這 個數彼此不相等，則其分配方法數有 .
（6）(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的 個物體分為任意的 ， ，…， 件無記號的 堆，且 ， ，…， 這 個數中分別有a、b、c、…個相等，則其分配方法數有 .
（7）(限定分組有歸屬問題)將相異的 （ ）個物體分給甲、乙、丙，……等 個人，物體必須被分完，如果指定甲得 件，乙得 件，丙得 件，…時，則無論 ， ，…， 等 個數是否全相異或不全相異其分配方法數恒有
.
157．“錯位問題”及其推廣
貝努利裝錯箋問題:信 封信與 個信封全部錯位的組合數為
.
推廣:個元素與 個位置,其中至少有 個元素錯位的不同組合總數為
.
158．不定方程 的解的個數
(1)方程 （ ）的正整數解有 個.
(2) 方程 （ ）的非負整數解有個.
(3) 方程 （ ）滿足條件 ( , )的非負整數解有 個.
(4) 方程 （ ）滿足條件 ( , )的正整數解有 個.
159．二項式定理 ;
二項展開式的通項公式
.
概率
160．等可能性事件的概率
.
161．互斥事件A，B分別發生的概率的和
P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
162． 個互斥事件分別發生的概率的和
P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
163．獨立事件A，B同時發生的概率
P(A?B)= P(A)?P(B).
164．n個獨立事件同時發生的概率
P(A1? A2?…? An)=P(A1)? P(A2)?…? P(An)．
165．n次獨立重復試驗中某事件恰好發生k次的概率
期望與方差
166．離散型隨機變量的分布列的兩個性質
（1） ;
（2） .
167．數學期望
168．數學期望的性質
(1) .
(2)若 ～ ,則 .
(3)若 服從幾何分布,且 ，則 .
169．方差
170．標準差
= .
171．方差的性質
(1) ；
(2)若 ～ ，則 .
(3) 若 服從幾何分布,且 ，則 .
172．方差與期望的關系
.
173．正態分布密度函數
，式中的實數μ， （ >0）是參數，分別表示個體的平均數與標準差.
174．標準正態分布密度函數
.
175．對于 ，取值小于x的概率
.
.
176．回歸直線方程
，其中 .
177．相關系數
.
|r|≤1，且|r|越接近于1，相關程度越大；|r|越接近于0，相關程度越小.
極限
178．特殊數列的極限
（1） .
（2） .
（3） （ 無窮等比數列( )的和）.
179．函數的極限定理
.
180．函數的夾逼性定理
如果函數f(x)，g(x)，h(x)在點x0的附近滿足：
（1） ;
（2） （常數）,
則 .
本定理對于單側極限和 的情況仍然成立.
181．幾個常用極限
（1） ， （ ）；
（2） ， .
182．兩個重要的極限
（1） ；
（2） (e=2.718281845…).
183．函數極限的四則運算法則
若 ， ，則
(1) ；
(2) ;
(3) .
184．數列極限的四則運算法則
若 ，則
(1) ；
(2) ；
(3)
(4) ( c是常數).
導數
185． 在 處的導數（或變化率或微商）
.
186．瞬時速度
.
187．瞬時加速度
.
188． 在 的導數
.
189．函數 在點 處的導數的幾何意義
函數 在點 處的導數是曲線 在 處的切線的斜率 ，相應的切線方程是 .
190．幾種常見函數的導數
(1)（C為常數）.
(2).
(3).
(4).
(5)； .
(6);.
191．導數的運算法則
（1） .
（2） .
（3） .
192．復合函數的求導法則
設函數 在點 處有導數 ，函數 在點 處的對應點U處有導數 ，則復合函數 在點 處有導數，且 ，或寫作 .
193．常用的近似計算公式（當 充分小時）
(1) ; ；
(2) ；；
(3) ；
(4) ；
(5) （ 為弧度）；
(6) （ 為弧度）；
(7) （ 為弧度）
194．判別 是極大（小）值的方法
當函數 在點 處連續時，
（1）如果在 附近的左側 ，右側 ，則 是極大值；
（2）如果在 附近的左側 ，右側 ，則 是極小值.
復數
195．復數的相等
.（ ）
196．復數 的模（或絕對值）
= = .
197．復數的四則運算法則
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
198．復數的乘法的運算律
對于任何 ，有
交換律: .
結合律: .
分配律:.
199．復平面上的兩點間的距離公式
（ ， ）.
200．向量的垂直
非零復數 ， 對應的向量分別是 ， ，則
的實部為零為純虛數
(λ為非零實數).
