目錄高一追及相遇問題物理 追及問題的常見4種情形例題 物理追及與相遇問題圓象法
1.追及和相遇問題
當兩個物體在同一直線上運動時，由于兩物體的運動情況不同，所以兩物體之間的距離會不斷發生變化，兩物體間距會越來越大搏舉滾或越來越小，這時就會涉及追及、相遇或避免碰撞等問題.
2.追及問題的兩類情況
(1)速度大者減速(如勻減速直線運動)追速度小者(如勻速運動)：
①當兩者速度相等時，若兩者位移之差仍小于初始時的距離，則永遠追不上，此時兩者間有最小距離.
②若兩者位移之差等于初始時的距離，且兩者速度相等時，則恰能追上，也是兩者相遇時避免碰撞的臨界條件.
③若兩者位移之差等于初始時的距離時，追者速度仍大于被追者的速度，則被追者還有一次追上追者的機會，其間速度相等時兩者間距離有一個極大值.
(2)速度小者加速(如初速度為零的勻加速直線運動)追速度大者(如勻速運動)：
①當兩者速度相等時有最大距離.
②若兩者位移之差等于初始時的距離時，則追上.
3.相遇問題的常見情況
(1)同向運動的兩物體追及即相遇.
(2)相向運動的物體，當各自發生的位移大小和等于開始時兩物體的距離時即相遇.
重點難點突破
一、追及和相遇問題的常見情形
1.速度小者追速度大者常見的幾種情況：
類型
圖象
說明
勻加速追勻速
①t＝t0以前，后面物體與前面物體間距離增大
②t＝t0時，兩物體相距最遠為x0＋Δx
③t＝t0以后，后面物體與前面物體間距離減小
④能追及且只能相遇一次
注：x0為開始時兩物體間的距離
勻速追勻減速
勻加速追勻減速
2.速度大者追速度小者常見的情形：
類型
圖象
說明
勻減速追勻速
開始追及時，后面物體與前面物體間距離在減小，當兩物體速度相等時，即t＝t0時刻：
①若Δx＝x0，則恰能追及，兩物體只能相遇一次，這也是避免相撞的臨界條件
②若Δx ③若Δx>x0，則相遇兩次，設t1時刻Δx1＝x0兩物體第一次相遇，則t2時刻兩物體第二次相遇 注：x0是開始時兩物體間的距離 勻速追勻加速 勻減速追勻加速 二、追及、相遇問題的求解方法 分析追及與相遇問題大致有兩種方法，即數學方法和物理方法，具體為： 方法1：利用臨界條件求解.尋找問題中隱含的臨界條件，例如速度小者加速追趕速度大者，在兩物體速度相等時有最大距離；速度大者減速追趕速度小者，在兩物體速度相等時有最小距離. 方法2：利用函數方程求解.利用不等式求解，思路有二：其一是答禪先求基余出在任意時刻t兩物體間的距離y＝f(t)，若對任何t，均存在y＝f(t)>0，則這兩個物體永遠不能相遇；若存在某個時刻t，使得y＝f(t)≤0，則這兩個物體可能相遇.其二是設在t時刻兩物體相遇，然后根據幾何關系列出關于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0無正實數解，則說明這兩物體不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正實數解，則說明這兩個物體可能相遇. 方法3：利用圖象求解.若用位移圖象求解，分別作出兩個物體的位移圖象，如果兩個物體的位移圖象相交，則說明兩物體相遇；若用速度圖象求解，則注意比較速度圖線與t軸包圍的面積. 方法4：利用相對運動求解.用相對運動的知識求解追及或相遇問題時，要注意將兩個物體對地的物理量(速度、加速度和位移)轉化為相對的物理量.在追及問題中，常把被追及物體作為參考系，這樣追趕物體相對被追物體的各物理量即可表示為：s相對＝s后－s前＝s0，v相對＝ v后－v前，a相對＝a后－a前，且上式中各物理量(矢量)的符號都應以統一的正方向進行確定. 三、分析追及、相遇問題的思路和應注意的問題 1.解“追及”、“相遇”問題的思路 (1)根據對兩物體運動過程的分析，畫出物體的運動示意圖. (2)根據兩物體的運動性質，分別列出兩物體的位移方程.注意要將兩物體運動時間的關系反映在方程中. (3)由運動示意圖找出兩物體位移間的關聯方程. (4)聯立方程求解. 2.分析“追及”、“相遇”問題應注意的幾點 (1)分析“追及”、“相遇”問題時，一定要抓住“一個條件，兩個關系”： “一個條件”是兩物體的速度滿足的臨界條件，如兩物體距離最大、最小、恰好追上或恰好追不上等. “兩個關系”是時間關系和位移關系.其中通過畫草圖找到兩物體位移之間的數量關系，是解題的突破口.因此，在學習中一定要養成畫草圖分析問題的良好習慣，因為正確的草圖對幫助我們理解題意、啟迪思維大有裨益. (2)若被追趕的物體做勻減速運動，一定要注意追上該物體前是否停止運動. (3)仔細審題，注意抓住題目中的關鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往對應一個臨界狀態，要滿足相應的臨界條件. 典例精析 1.運動中的追及和相遇問題 【例1】在一條平直的公路上，乙車以10 m/s的速度勻速行駛，甲車在乙車的后面做初速度為15 m/s，加速度大小為0.5 m/s2的勻減速運動，則兩車初始距離L滿足什么條件時可以使(1)兩車不相遇；(2)兩車只相遇一次；(3)兩車能相遇兩次(設兩車相遇時互不影響各自的運動). 【解析】設兩車速度相等經歷的時間為t，則甲車恰能追上乙車時，應有 v甲t－ ＝v乙t＋L 其中t＝ ，解得L＝25 m 若L>25 m，則兩車等速時也未追及，以后間距會逐漸增大，即兩車不相遇. 若L＝25 m，則兩車等速時恰好追及，兩車只相遇一次，以后間距會逐漸增大. 若L<25 m，則兩車等速時，甲車已運動至乙車前面，以后還能再次相遇，即能相遇兩次. 【思維提升】對于追及和相遇問題的處理，要通過兩質點的速度進行比較分析，找到隱含條件(即速度相同時，兩質點間距離最大或最小)，再結合兩個運動的時間關系、位移關系建立相應方程求解. 【拓展1】兩輛游戲賽車a、b在兩條平行的直車道上行駛.t＝0時兩車都在同一計時處，此時比賽開始.它們在四次比賽中的v-t圖象如圖所示.哪些圖對應的比賽中，有一輛賽車追上另一輛( AC ) 【解析】由v-t圖象的特點可知，圖線與t軸所圍成面積的大小，即為物體位移的大小.觀察4個圖象，只有A、C選項中，a、b所圍面積的大小有相等的時刻，故A、C正確. 2.追及、相遇問題的求解 【例2】在水平軌道上有兩列火車A和B相距s，A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運動，而B車同時做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運動，兩車運動方向相同.要使兩車不相撞，求A車的初速度v0應滿足什么條件？ 【解析】解法一：(物理分析法)A、B車的運動過程(如圖所示)利用位移公式、速度公式求解. 對A車有sA＝v0t＋ ×(－2a)×t2 vA＝v0＋(－2a)×t 對B車有sB＝ at2，vB＝at 兩車有s＝sA－sB 追上時，兩車不相撞的臨界條件是vA＝vB 聯立以上各式解得v0＝ 故要使兩車不相撞，A車的初速度v0應滿足的條件是v0≤ 解法二：(極值法)利用判別式求解，由解法一可知sA＝s＋sB，即v0t＋ ×(－2a)×t2＝s＋ at2 整理得3at2－2v0t＋2s＝0 這是一個關于時間t的一元二次方程，當根的判別式Δ＝(2v0)2－4×3a×2s<0時，t無實數解，即兩車不相撞，所以要使兩車不相撞，A車的初速度v0應滿足的條件是v0≤ 解法三：(圖象法)利用速度—時間圖象求解，先作A、B兩車的速度—時間圖象，其圖象如圖所示，設經過t時間兩車剛好不相撞，則對A車有vA＝v＝v0－2at 對B車有vB＝v＝at 以上兩式聯立解得t＝ 經t時間兩車發生的位移之差，即為原來兩車間的距離s，它可用圖中的陰影面積表示，由圖象可知 s＝ v0?t＝ v0? 所以要使兩車不相撞，A車的初速度v0應滿足的條件是v0≤ 【思維提升】三種解法中，解法一注重對運動過程的分析，抓住兩車間距有極值時速度應相等這一關鍵條件來求解；解法二中由位移關系得到一元二次方程，然后利用根的判別式來確定方程中各系數間的關系，這也是中學物理中常用的數學方法；解法三通過圖象不僅將兩物體運動情況直觀、形象地表示出來，也可以將位移情況顯示，從而快速解答. 【拓展2】從地面上以初速度2v0豎直上拋物體A，相隔Δt時間后再以初速度v0豎直上拋物體B.要使A、B在空中相遇，Δt應滿足什么條件？ 【解析】A、B兩物體都做豎直上拋運動，由s＝v0t－ gt2作出它們的s-t圖象，如圖所示.顯然，兩圖線的交點表示A、B相遇(sA＝sB). 由圖象可看出Δt滿足關系式 時，A、B在空中相遇. 易錯門診 3.分析追及、相遇問題的思路 【例3】現檢測汽車A的制動性能：以標準速度20 m/s在平直公路上行駛時，制動后40 s停下來.若A在平直公路上以20 m/s的速度行駛時發現前方180 m處有一貨車B以6 m/s 的速度同向勻速行駛，司機立即制動，能否發生撞車事故？ 【錯解】設汽車A制動后40 s的位移為x1，貨車B在這段時間內的位移為x2. 據a＝ 得車的加速度a＝－0.5 m/s2 又x1＝v0t＋ at2得 x1＝20×40 m＋ ×(－0.5)×402 m＝400 m x2＝v2t＝6×40 m＝240 m 兩車位移差為400 m－240 m＝160 m 因為兩車剛開始相距180 m>160 m 所以兩車不相撞. 【錯因】這是典型的追及問題.關鍵是要弄清不相撞的條件.汽車A與貨車B同速時，兩車位移差和初始時刻兩車距離關系是判斷兩車能否相撞的依據.當兩車同速時，兩車位移差大于初始時刻的距離時，兩車相撞；小于、等于時，則不相撞.而錯解中的判據條件錯誤導致錯解. 【正解】如圖，汽車A以v0＝20 m/s的初速度做勻減速直線運動經40 s停下來.據加速度公式可求出a＝－0.5 m/s2.當A車減為與B車同速時，是A車逼近B車距離最多的時刻，這時若能超過B車則相撞，反之則不能相撞. 據v2－ ＝2ax可求出A車減為與B車同速時的位移 x1＝ m＝364 m 此時間t內B車的位移為x2，則t＝ s＝28 s x2＝v2t＝6×28 m＝168 m Δx＝364 m－168 m＝196 m>180 m 所以兩車相撞. 【思維提升】分析追及問題應把兩物體的位置關系圖(如解析中圖)畫好.通過此圖理解物理情景.本題也可以借助圖象幫助理解，如圖所示，陰影區是A車比B車多通過的最大距離，這段距離若能大于兩車初始時刻的距離則兩車必相撞.小于、等于則不相撞.從圖中也可以看出A車速度成為零時，不是A車比B車多走距離最大的時刻，因此不能作為臨界條件分析. 有關晌鎮追擊、相遇問題中速度相等是兩個物體距離最大、最小的臨界條件。 1、當減速追勻速避碰問題中，隨減速物體的速度減凳世小，兩物體間的距離減小，當兩個物體速度相等時，距離最小，以后兩物體間的距離將增大。 2、當加速追勻速追擊問題中，隨加速物體的速度增大，兩物體間的距離增大，當兩個物體速度相等時棗謹肢，距離最大，以后兩物體間的距離將減小。 你還。高中做姿做物理追擊相遇有以下幾種情況： 1、追及問題： 追和被追的兩物體的速度相等（同向運動）是能否追上及兩者距離有極值的臨界條件。 第一類： 速度大者減速（如勻減速直線運動）追速度小者（如勻減速直線運動） ①當兩者速度相等時，追者位移追者位移仍小于被追者位移，則永遠追不上，此時兩者之間有最小距離。 ②若兩者位移相等，且兩者速度相等時，則恰能追上，也純衡是兩者避免碰撞的臨界條件。 ③若兩者位移相等時，追著速度仍大于被追者的速度，則被追者還有一次追上追者的機會，當速度相等時兩者之間距離有一個最大值。 在具體求解時，可以利用速度相等這一條件求解，也可以利用二次函數的知識求解，還可以利用圖象等求解。 第二類： 速度小者加速（如初速度為零的勻加速直線運動）追冊蘆速度大者（勻速直線運動）。 ①當兩者速度相等時有最大距離。 ②當兩者位移相等時，則追上。 具體的求解方法與第一類相似，即利用速度相等進行分析還可利用二次函數圖象和圖象圖象。 2、相遇問題 ①同向運動的兩物體追及即相遇。 ②相向運動的物體，當各自發生的位移大小之和等于開始時兩物體間的距離時相遇
追及問題的常見4種情形例題
物理追及與相遇問題圓象法
