數(shù)學(xué)通項(xiàng)公式？這樣問范圍很廣泛但數(shù)列求通項(xiàng)公式有一些基本題型一、由公式：等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，確定其中的3個(gè)量：n,d,a1可求得二、由前幾項(xiàng)要求推出通項(xiàng)公式：寫出n與an，觀察之間的關(guān)系。如果關(guān)系不明顯，那么，數(shù)學(xué)通項(xiàng)公式？一起來了解一下吧。
1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式：a?=a?+（n-1）×d
2、等比數(shù)列通項(xiàng)公式：a?=a?×q（n-1）
按一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，而將數(shù)列{an} 的第n項(xiàng)用一個(gè)具體式子（含做薯有參數(shù)n）表示出來，稱作該數(shù)列的通項(xiàng)公式。這正如函數(shù)的解析式一樣，通過代入具體的n值便可求知相應(yīng)an項(xiàng)的值滾胡滑。而數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，通常是大臘由其遞推公式經(jīng)過若干變換得到。
擴(kuò)展資料：
例：{an}滿足a?+ 2a?+ 3a?+……+ nan= n(n+1)(n+2)
解：令bn= a?+ 2a?+ 3a?+……+ nan= n(n+1)(n+2)
nan= bn- bn-1= n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)
所以an= 3（n+1）
這樣問范圍很廣泛但數(shù)列求通項(xiàng)公式脊返有一些基本畢枝題型一、由公式：等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，確定其中的3個(gè)量：n,d,a1可求得二、由前幾項(xiàng)要求推出通項(xiàng)公式：寫出n與an，觀察之間的關(guān)系。如果關(guān)系不明顯，應(yīng)該將項(xiàng)作適當(dāng)變形或分解，讓規(guī)律突現(xiàn)出來，便于找到通項(xiàng)公式三、已知前n項(xiàng)和sn，可由an=sn-s(n-1)，但要注意Sn－S（n－1）是在n≥2的條件下成立的，若將n＝1代入該式所得的值與S1相等，則{an}的通項(xiàng)公式就可用統(tǒng)一的形式來表示，否則就寫成分段數(shù)列的形式四、由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式：已知數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)，可把每相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系列出來，抓住它們的特點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)處理，有時(shí)借助拆分或取倒數(shù)等方法構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)問題．建議找些題目補(bǔ)充提問，這樣回答櫻數(shù)饑才能更具體。
八種求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法
一、公式法
例1 已知數(shù)列 滿足 ,,求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
兩邊除以 ,得 ,則 ,故數(shù)列 是以 為首項(xiàng),以 為公差的等差數(shù)列,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,得 ,所以數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 .
評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 轉(zhuǎn)化為 ,說明數(shù)列 是等差數(shù)列,再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出 ,進(jìn)而求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
二、累加法
例2 已知數(shù)列 滿足 ,求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
由 得 則
所以數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 .
評注：沖告本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 轉(zhuǎn)化為 ,進(jìn)而求出 ,即得數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
例3 已知數(shù)列 滿足 ,求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
由 得 則
所以
評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 轉(zhuǎn)化為 ,進(jìn)而求出 ,即得數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
例4 已知數(shù)列 滿足 ,求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
兩邊除以 ,得 ,
則 ,故
因此 ,
則
評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 轉(zhuǎn)化為 ,進(jìn)而求出 ,即得數(shù)列 的通項(xiàng)公式,最后再求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
三、累乘法
例5 已知數(shù)列 滿足 ,求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
因?yàn)?,所以 ,則 ,故
所以數(shù)列 的通項(xiàng)公式為
評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系 轉(zhuǎn)化為 ,進(jìn)而求出 ,即得數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
例6已知數(shù)列 滿足 ,求 的通項(xiàng)公式.
因?yàn)?①
所以 ②
用②式－①式得
則
故
所以 ③
由 ,,則 ,又知 ,則 ,代入③得 .
所以,的通項(xiàng)公式為
評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 轉(zhuǎn)化為 ,進(jìn)而求出 ,從而可得當(dāng) 的表達(dá)式,最后再求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
四、待定系數(shù)法
例7 已知喊判弊數(shù)列 滿足 ,求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
設(shè) ④
將 代入④式,得 ,等式兩邊消去 ,得 ,兩邊除以 ,得 代入④式得 ⑤
由 及⑤式得 ,則 ,則數(shù)列 是以 為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,則 ,故 .
評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 轉(zhuǎn)化為 ,從而可知數(shù)列 是等比數(shù)列,進(jìn)而求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式,最后再求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
例8 已知數(shù)列 滿足 ,求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
設(shè) ⑥
將 代入⑥式,得
整理得 .
令 ,則 ,代入⑥式得
⑦
由 及⑦式,
得 ,則 ,
故數(shù)列 是以 為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列,因此 ,則 .
評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 轉(zhuǎn)化為 ,從而可知數(shù)列 是等比數(shù)列,進(jìn)而求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式鄭族,最后再求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
例9 已知數(shù)列 滿足 ,求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
設(shè) ⑧
將 代入⑧式,得
,則
等式兩邊消去 ,得 ,
解方程組 ,則 ,代入⑧式,得
⑨
由 及⑨式,得
則 ,故數(shù)列 為以 為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,因此 ,則 .
評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 轉(zhuǎn)化為 ,從而可知數(shù)列 是等比數(shù)列,進(jìn)而求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式,最后再求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
五、對數(shù)變換法
例10 已知數(shù)列 滿足 ,,求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
因?yàn)?,所以 .在 式兩邊取常用對數(shù)得 ⑩
設(shè) 11
將⑩式代入11式,得 ,兩邊消去 并整理,得 ,則
,故
代入11式,得 12
由 及12式,
得 ,
則 ,
所以數(shù)列 是以 為首項(xiàng),以5為公比的等比數(shù)列,則 ,因此
則 .
評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式 轉(zhuǎn)化為 ,從而可知數(shù)列 是等比數(shù)列,進(jìn)而求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式,最后再求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
六、迭代法
例11 已知數(shù)列 滿足 ,求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
因?yàn)?,所以
又 ,所以數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 .
評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式.即先將等式 兩邊取常用對數(shù)得 ,即 ,再由累乘法可推知 ,從而 .
七、數(shù)學(xué)歸納法
例12 已知數(shù)列 滿足 ,求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
由 及 ,得
由此可猜測 ,往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論.
（1）當(dāng) 時(shí),,所以等式成立.
（2）假設(shè)當(dāng) 時(shí)等式成立,即 ,則當(dāng) 時(shí),
由此可知,當(dāng) 時(shí)等式也成立.
根據(jù)（1）,（2）可知,等式對任何 都成立.
評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項(xiàng),進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式,最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.
八、換元法
例13 已知數(shù)列 滿足 ,求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
令 ,則
故 ,代入 得
即
因?yàn)?,故
則 ,即 ,
可化為 ,
所以 是以 為首項(xiàng),以 為公比的等比數(shù)列,因此 ,則 ,即 ,得
.
評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將 的換元為 ,使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化 形式,從而可知數(shù)列 為等比數(shù)列,進(jìn)而求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式,最后再求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
如果設(shè)F(n)為該數(shù)列的第n項(xiàng)(n∈N+).那么這句話可以寫成如下形式：
F(0) = 0,F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
顯然這是一個(gè)線性遞推數(shù)列.
通項(xiàng)稿返公式的推導(dǎo)方法一：利用特征方程
線性遞推數(shù)列的特征方程為：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2,X2=(1-√5)/2
則F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5,C2=-1/√5
∴鍵余饑F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√毀畝5)/2]^n}（√5表示根號5）
數(shù)列通項(xiàng)公式是高中數(shù)學(xué)的重慎前御點(diǎn)與難點(diǎn)，那么數(shù)列通項(xiàng)公式的有什么求解方法呢?下面由我告訴你答案。
高中數(shù)學(xué)數(shù)列通項(xiàng)公式的求法總結(jié)
一、一階線性遞推數(shù)列求通項(xiàng)問題
一階線性遞推數(shù)列主要有如下幾種形式：
1.
這類遞推數(shù)列可通過累加法而求得其通項(xiàng)公式(數(shù)列{f(n)}可求前n項(xiàng)和).
當(dāng)
為常數(shù)時(shí)，通過累加法可求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.而當(dāng)
為等差數(shù)列時(shí)，則
為二階等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式應(yīng)當(dāng)為
形式，注意與等差數(shù)列求和公式一般形式的區(qū)別，后者是
，其常數(shù)項(xiàng)一定為0. 2.
這類遞推數(shù)列可通過累乘法而求得其通項(xiàng)公式(數(shù)列{g(n)}可求前n項(xiàng)積).
當(dāng)
為常數(shù)時(shí)，用累乘法可求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式. 3.
; 這類數(shù)列通常可轉(zhuǎn)化為
，或消去常數(shù)轉(zhuǎn)化為二階遞推式
. 例1已知數(shù)列
中，
,求
的通項(xiàng)公式. 解析：解法一：轉(zhuǎn)化為
型遞推數(shù)列. ∵
∴
又
，故數(shù)列{
｝是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.∴
，即
. 解法二：轉(zhuǎn)化為
型遞推數(shù)列. ∵
=2xn-1+1(n≥2)①∴
=2xn+1② ②-①，得
(n≥2)，故{
｝是首項(xiàng)為x2-x1=2，公比為2的等比數(shù)列，即
，再用累加法得
.
解法三：用迭代法寬巖.
當(dāng)然,此題也可用歸納猜想法求之，但要用數(shù)學(xué)歸納法證明. 例2已知函數(shù)
的反函數(shù)為
求數(shù)列
的通項(xiàng)公式. 解析：由已知得
，則
. 令
=,則
.比較系數(shù)，得
. 即有
.∴數(shù)列{
｝是以
為首項(xiàng)，
為公比的等比數(shù)列，∴
，故
.
評析：此題亦可采用歸納猜想得出通項(xiàng)公式，而后用數(shù)學(xué)歸納法證明之.
(4)
若取倒數(shù),得
，令
，從而轉(zhuǎn)化為(1)型而求之. (5)
; 這類數(shù)列可變換成
，令
，則轉(zhuǎn)化為(1)型一階線性遞推公式. 例3設(shè)數(shù)列
求數(shù)列
的通項(xiàng)悔培公式. 解析：∵
，兩邊同除以
，得
.令
，則有
.于是，得
，∴數(shù)列
是以首項(xiàng)為
，公比為
的等比數(shù)列，故
，即
，從而
. 例4設(shè)
求數(shù)列
的通項(xiàng)公式. 解析：設(shè)
用
代入，可解出
. ∴
是以公比為-2，首項(xiàng)為
的等比數(shù)列. ∴
，即
. (6)
這類數(shù)列可取對數(shù)得
，從而轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列型遞推數(shù)列.
二、可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列或一些特殊數(shù)列的二階遞推數(shù)列
例5設(shè)數(shù)列
求數(shù)列
的通項(xiàng)公式. 解析：由
可得
設(shè)
故
即
用累加法得
或
例6在數(shù)列
求數(shù)列
的通項(xiàng)公式.
解析：可用換元法將其轉(zhuǎn)化為一階線性遞推數(shù)列.
令
使數(shù)列
是以
為公比的等比數(shù)列(
待定). 即
∴
對照已給遞推式， 有
即
的兩個(gè)實(shí)根. 從而
∴
① 或
② 由式①得
;由式②得
. 消去
. 例7在數(shù)列
求
. 解析：由
①，得
②. 式②+式①，得
，從而有
.∴數(shù)列
是以6為其周期.故
=
=-1.
三、特殊的n階遞推數(shù)列
例8已知數(shù)列
滿足
，求
的通項(xiàng)公式. 解析：∵
① ∴
② ②-①，得
.∴
故有
將這幾個(gè)式子累乘，得
又
例9數(shù)列{
｝滿足
，求數(shù)列{
｝的同項(xiàng)公式. 解析：由
①，得
②. 式①-式②，得
，或
，故有
. ∴
,
. 將上面幾個(gè)式子累乘，得
，即
. ∵
也滿足上式，∴
.高中數(shù)學(xué)常見數(shù)列通項(xiàng)公式
累加法
遞推公式為a(n+1)=an+f(n)，且f(n)可以求和
例：數(shù)列{an}，滿足a1=1/2，a(n+1)=an+1/(4n^2-1)，求{an}通項(xiàng)公式
解：a(n+1)=an+1/(4n^2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
∴an=a1+(1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1))
∴an=1/2+1/2 (1-1/(2n-1))=(4n-3)/(4n-2)
累乘法
遞推公式為a(n+1)/an=f(n),且f(n)可求積
例：數(shù)列{an}滿足a(n+1)=(n+2)/n an，且a1=4，求an
解：an/a1=an/a(n-1)×a(n-1)/a(n-2)×……×a2/a1=2n(n+1)
構(gòu)造法
將非等差數(shù)列、等比數(shù)列，轉(zhuǎn)換成相關(guān)的等差等比數(shù)列
連加相減，連乘相除
例：{an}滿足a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)
解：令bn=a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)
nan=bn-b(n-1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)
以上就是數(shù)學(xué)通項(xiàng)公式的全部內(nèi)容，那么， 通項(xiàng)公式為 (即a1 乘以q 的 （n-1)次方，其推導(dǎo)為“連乘原理”的思想：a 2 = a 1 *q,a 3 = a 2 *q,a 4 = a 3 *q,```a n = a n-1 *q,將以上（n-1)項(xiàng)相乘，左右消去相應(yīng)項(xiàng)后。
