物理軌跡方程？物理學中，軌跡方程是描述物體運動的數學公式。它可以幫助我們更好地理解物體在空間中的運動規律。在本文中，我們將探究軌跡方程的基本概念和操作步驟，以及其在現實生活中的應用。那么，物理軌跡方程？一起來了解一下吧。
物理學中，軌跡方程是描述物體運動的數學公式。它可以幫助我們更好地理解物體在空間中的運動規律。在本文中，我們將探究軌跡方程的基本概念和操作步驟，以及其在現實生活中的應用。
軌跡方程的基本概念
軌跡方程是描述物體在空間中運動的數學公式，通常用三維坐標系表示。在三維坐標系中，物體的位置可以用三個坐標表示，分別為x、y、z。軌跡方程可以表示為：
r(t)=(x(t),y(t),z(t))
其中，t表示時間，r(t)表示物體在t時刻的位置。軌跡方程可以用向量形式表示，即：
r(t)=xi+yj+zk
其中，i、j、k分別表示三個坐標軸的單位向量。軌跡方程可以用參數方程表示，即：
x=f(t)
y=g(t)
z=h(t)
其中，f(t)、g(t)、h(t)分別表示x、y、z坐標隨時間變化的函數。
軌跡方程的操作步驟
為了求解軌跡方程，我們需要知道物體在不同時間點的位置信息。通常情況下，我們可以通過實驗或者觀測獲得這些信息。下面是求解軌跡方程的具體操作步驟：
1.確定物體的運動軌跡。在實驗或者觀測中，我們需要確定物體在不同時間點的位置信息。這些位置信息可以用三維坐標系表示。
2.確定軌跡方程的形式。軌跡方程可以用向量形式、參數方程或者標量方程表示。
在一個選定的參考系中，當質點運動時，它的位置P（x,y,z）是按一定規律隨時刻t而改變的，所以位置是t的函數，這個函數可表示為：
x=x(t) ,y=y(t),z=z(t)
它們叫做質點的運動學方程（kinematical equation）。
質點的軌道方程，也叫軌跡方程，表示質點運動的曲線方程，表達式為：y=f(x)。
二者的區別主要有：
軌跡方程是x和y的函數,運動方程是x與t的函數。
質點的運動方程和軌跡方程可以互相轉換。
前者可以看做向量，后者可以看出是函數關系。
拓展資料
質點就是有質量但不存在體積或形狀的點，是物理學的一個理想化模型。在物體的大小和形狀不起作用，或者所起的作用并不顯著而可以忽略不計時，我們近似地把該物體看作是一個只具有質量而其體積、形狀可以忽略不計的理想物體，用來代替物體的有質量的點稱為質點（mass point，particle）。
要把物體看作質點，就要看所研究問題的性質，而與物體本身無關。所以，能否將物體看作質點需要滿足其中之一：
當物體的大小與所研究的問題中其他距離相比為極小時。
一個物體各個部分的運動情況相同，它的任何一點的運動都可以代表整個物體的運動。
質點的軌跡方程：r=(4+t)i-t^2j。
x=4+t，y=-t^2。
由左式t=x-4，代入右式y=-(x-4)^2--即為軌跡方程。
2.1s到3s位移矢量表達式。
Δr=((4+3)i-3^2j)-((4+1)i-1^2j)=2i-8j。
3.任意時刻速度矢量表達式。
v=dr/dt=i-2tj。
注意：黑體為矢量。
求動點的軌跡方程要根據題設條件靈活地選擇方法.常用的方法有兩大類，一類是直接求法，包括利用圓錐曲線的定義等；另一類是間接求法，主要包括相關點法和參數法.
一、 直接法
一般情況下，動點在運動時，總是滿足一定的條件的（即動中有靜，變中有不變），可設動點的坐標為(x,y)，然后選擇適當的公式（如兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，兩點連線的斜率公式，兩直線（向量）的夾角公式，定比分點坐標公式，三角形面積公式等），或一些包含等量關系的定理、定義等，將題設條件轉化成x,y之間的關系式（等式），從而得到動點的軌跡方程.這種求軌跡方程的方法稱為直接法.
例1 已知定點a（-1，0），b（2，0），動點m滿足2∠mab=∠mba,求點m的軌跡方程.
解析 直接設點m為（x,y），先將2∠mab=∠mba轉化成直線ma，mb的斜率的關系式，便可得點m的軌跡方程.
設∠mab=α,則∠mba=2α,顯然0≤α＜90°.
(1) 當2α≠90°時，
若m點在x軸上方，
則有tanα=kma=yx+1,tan(π-2α)=kmb=yx-2.
若點m在x軸下方，則有tan(π-α)=kma=yx+1,tan2α=kmb=yx-2.
于是總有-yx-2=2y1+x1-y2(1+x)2,注意到|ma|＞|mb|，可得x2-y23=1(x≥1).
若點m在x軸上，則點m為線段ab上的點，所以有y=0（-1＜x＜2）.
（2） 當2α=90°時，△mab為等腰直角三角形，點m為（2，±3）.
綜上，點m的軌跡方程為x2-y23=1(x≥1)或y=0(-1＜x＜2＝.
二、 定義法
若動點在運動時滿足的條件符合某種已知曲線的定義，則可以設出其軌跡的標準方程，然后利用待定系數法求出其軌跡方程.這種求軌跡方程的方法稱為定義法，利用定義法求軌跡方程要熟知常見曲線的定義、特征.
例2 設動點p到點a（-1，0）和b（1，0）的距離分別為d1，d2（d1d2≠0），∠apb=2θ.若存在常數λ(0＜λ＜1)，使得d1d2sin2θ=λ恒成立.
證明：動點p的軌跡c為雙曲線，并求出c的方程.
解析 ，在△pab中，|ab|=2.
由余弦定理，可得22=d21+d22-2d1d2cos2θ，即4=(d1-d2)2+4d1d2sin2θ，
又d1d2sin2θ=λ（常數），0＜λ＜1，
則有|d1-d2|
=4-4d1d2sin2θ=21-λ（常數）＜2=|ab|，
所以點p的軌跡c是以a,b為焦點，實軸長2a=21-λ的雙曲線，
從而a=1-λ，c=1,故b2=c2-a2=λ，
則c的方程為x21-λ-y2λ=1.
三、 代入法
若所求軌跡上的動點p(x,y)與另一個已知軌跡（曲線）c:f(x,y)=0上的動點q（x1,y1）存在著某種聯系，則可以把點q的坐標用點p的坐標表示出來，然后代入曲線c的方程f(x,y)=0中并化簡，即得動點p軌跡方程.這種求軌跡方程的方法叫做代入法（又稱相關點法）.
例3 已知定點a（4，0）和曲線c：x2+y2=4上的動點b，點p分ab之比為2∶1，求動點p的軌跡方程.
解析 要求動點p(x,y)的軌跡方程，即要建立關于p的坐標x,y的等量關系，而直接建立x,y的等量關系十分困難，但可以先尋找動點b(x0,y0)的坐標x0,y0之間的關系，再利用已知的p與b之間的關系（即x,y與x0,y0之間關系）得到關于x,y的方程.
設動點p為(x,y)，b為（x0,y0）.
因為ap=2pb,所以x=4+2x01+2,y=2y01+2,所以x0=3x-42,y0=3y2.
又因為點b在曲線c上，所以3x-422+94y2=4,即x-432+y2=169.
所以點p的軌跡方程為x-432+y2=169.
點評 代入法的主要步驟：
（1） 設所求軌跡上的任意一點為p(x,y)，相對應的已知曲線上的點為q(x1,y1);
（2） 建立關系式x1=g(x,y),y1=h(x,y)；
（3） 將這兩上式子代入已知曲線方程中并化簡，即得所求軌跡的方程.
四、 參數法
根據題設條件，用一個參數分別表示出動點(x,y)的坐標x和y，或列出兩個含同一個參數的動點(x，y)的坐標x和y之間的關系式，這樣就間接地把x和y聯系起來了，然后聯立這兩個等式并消去參數，即可得到動點的軌跡方程.這種求軌跡的方法稱為參數法.
例4 已知動點m 在曲線c：13x2+13y2-15x-36y=0上，點n在射線om上，且|om|·|on|=12，求動點n的軌跡方程.
解析 點n在射線om上，而在同一條以坐標原點為端點的射線上的任意兩點（x1,y1）,(x2,y2)的坐標的關系為x1x2=y1y2=k,k為常數且k＞0,故可采用參數法求點n的軌跡方程.
設n為（x,y）,則m為（kx,ky）,k＞0.
因為|om|·|on|=12，所以k2(x2+y2)·x2+y2=12，
所以k(x2+y2)=12.
又點m在曲線c上，所以13k2x2+13k2y2-15kx-36ky=0.
由以上兩式消去k,得5x+12y-52=0,
所以點n的軌跡方程為5x+12y-52=0.
點評 用參數法求軌跡方程的步驟為：先引進參數，用此參數分別表示動點的橫、縱坐標x,y；再消去參數，得到關于x,y的方程，即為所求的軌跡方程.注意參數的取值范圍對動點的坐標x和y的取值范圍的影響.
另外，求動點的軌跡方程時，還應注意下面幾點：
（1） 坐標系要建立得適當.這樣可以使運算過程簡單，所得到的方程也比較簡單.
（2） 根據動點所要滿足的條件列出方程是最重要的一環.要做好這一步，應先認真分析題設條件，綜合利用平面幾何知識，列出幾何關系（等式），再利用解析幾何中的一些基本概念、公式、定理等將幾何關系（等式）坐標化.
（3） 化簡所求得的軌跡方程時，如果所做的變形不是該方程的同解變形，那么必須注意在該變形過程中是增加了方程的解，還是減少了方程的解，并在所得的方程中刪去或補上相應的點，這時一般不要求寫出證明過程.
求動點的軌跡方程要根據題設條件靈活地選擇方法.常用的方法有兩大類，一類是直接求法，包括利用圓錐曲線的定義等；另一類是間接求法，主要包括相關點法和參數法.
一、 直接法
一般情況下，動點在運動時，總是滿足一定的條件的（即動中有靜，變中有不變），可設動點的坐標為(x,y)，然后選擇適當的公式（如兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，兩點連線的斜率公式，兩直線（向量）的夾角公式，定比分點坐標公式，三角形面積公式等），或一些包含等量關系的定理、定義等，將題設條件轉化成x,y之間的關系式（等式），從而得到動點的軌跡方程.這種求軌跡方程的方法稱為直接法.
例1 已知定點a（-1，0），b（2，0），動點m滿足2∠mab=∠mba,求點m的軌跡方程.
解析 直接設點m為（x,y），先將2∠mab=∠mba轉化成直線ma，mb的斜率的關系式，便可得點m的軌跡方程.
圖1
如圖1，設∠mab=α,則∠mba=2α,顯然0≤α＜90°.
(1) 當2α≠90°時，
若m點在x軸上方，
則有tanα=kma=yx+1,tan(π-2α)=kmb=yx-2.
若點m在x軸下方，則有tan(π-α)=kma=yx+1,tan2α=kmb=yx-2.
于是總有-yx-2=2y1+x1-y2(1+x)2,注意到|ma|＞|mb|，可得x2-y23=1(x≥1).
若點m在x軸上，則點m為線段ab上的點，所以有y=0（-1＜x＜2）.
（2） 當2α=90°時，△mab為等腰直角三角形，點m為（2，±3）.
綜上，點m的軌跡方程為x2-y23=1(x≥1)或y=0(-1＜x＜2＝.
二、 定義法
若動點在運動時滿足的條件符合某種已知曲線的定義，則可以設出其軌跡的標準方程，然后利用待定系數法求出其軌跡方程.這種求軌跡方程的方法稱為定義法，利用定義法求軌跡方程要熟知常見曲線的定義、特征.
例2 設動點p到點a（-1，0）和b（1，0）的距離分別為d1，d2（d1d2≠0），∠apb=2θ.若存在常數λ(0＜λ＜1)，使得d1d2sin2θ=λ恒成立.
證明：動點p的軌跡c為雙曲線，并求出c的方程.
圖2
解析 如圖2，在△pab中，|ab|=2.
由余弦定理，可得22=d21+d22-2d1d2cos2θ，即4=(d1-d2)2+4d1d2sin2θ，
又d1d2sin2θ=λ（常數），0＜λ＜1，
則有|d1-d2|
=4-4d1d2sin2θ=21-λ（常數）＜2=|ab|，
所以點p的軌跡c是以a,b為焦點，實軸長2a=21-λ的雙曲線，
從而a=1-λ，c=1,故b2=c2-a2=λ，
則c的方程為x21-λ-y2λ=1.
三、 代入法
若所求軌跡上的動點p(x,y)與另一個已知軌跡（曲線）c:f(x,y)=0上的動點q（x1,y1）存在著某種聯系，則可以把點q的坐標用點p的坐標表示出來，然后代入曲線c的方程f(x,y)=0中并化簡，即得動點p軌跡方程.這種求軌跡方程的方法叫做代入法（又稱相關點法）.
例3 已知定點a（4，0）和曲線c：x2+y2=4上的動點b，點p分ab之比為2∶1，求動點p的軌跡方程.
解析 要求動點p(x,y)的軌跡方程，即要建立關于p的坐標x,y的等量關系，而直接建立x,y的等量關系十分困難，但可以先尋找動點b(x0,y0)的坐標x0,y0之間的關系，再利用已知的p與b之間的關系（即x,y與x0,y0之間關系）得到關于x,y的方程.
設動點p為(x,y)，b為（x0,y0）.
因為ap=2pb,所以x=4+2x01+2,y=2y01+2,所以x0=3x-42,y0=3y2.
又因為點b在曲線c上，所以3x-422+94y2=4,即x-432+y2=169.
所以點p的軌跡方程為x-432+y2=169.
點評 代入法的主要步驟：
（1） 設所求軌跡上的任意一點為p(x,y)，相對應的已知曲線上的點為q(x1,y1);
（2） 建立關系式x1=g(x,y),y1=h(x,y)；
（3） 將這兩上式子代入已知曲線方程中并化簡，即得所求軌跡的方程.
四、 參數法
根據題設條件，用一個參數分別表示出動點(x,y)的坐標x和y，或列出兩個含同一個參數的動點(x，y)的坐標x和y之間的關系式，這樣就間接地把x和y聯系起來了，然后聯立這兩個等式并消去參數，即可得到動點的軌跡方程.這種求軌跡的方法稱為參數法.
例4 已知動點m 在曲線c：13x2+13y2-15x-36y=0上，點n在射線om上，且|om|·|on|=12，求動點n的軌跡方程.
解析 點n在射線om上，而在同一條以坐標原點為端點的射線上的任意兩點（x1,y1）,(x2,y2)的坐標的關系為x1x2=y1y2=k,k為常數且k＞0,故可采用參數法求點n的軌跡方程.
設n為（x,y）,則m為（kx,ky）,k＞0.
因為|om|·|on|=12，所以k2(x2+y2)·x2+y2=12，
所以k(x2+y2)=12.
又點m在曲線c上，所以13k2x2+13k2y2-15kx-36ky=0.
由以上兩式消去k,得5x+12y-52=0,
所以點n的軌跡方程為5x+12y-52=0.
點評 用參數法求軌跡方程的步驟為：先引進參數，用此參數分別表示動點的橫、縱坐標x,y；再消去參數，得到關于x,y的方程，即為所求的軌跡方程.注意參數的取值范圍對動點的坐標x和y的取值范圍的影響.
另外，求動點的軌跡方程時，還應注意下面幾點：
（1） 坐標系要建立得適當.這樣可以使運算過程簡單，所得到的方程也比較簡單.
（2） 根據動點所要滿足的條件列出方程是最重要的一環.要做好這一步，應先認真分析題設條件，綜合利用平面幾何知識，列出幾何關系（等式），再利用解析幾何中的一些基本概念、公式、定理等將幾何關系（等式）坐標化.
（3） 化簡所求得的軌跡方程時，如果所做的變形不是該方程的同解變形，那么必須注意在該變形過程中是增加了方程的解，還是減少了方程的解，并在所得的方程中刪去或補上相應的點，這時一般不要求寫出證明過程.
以上就是物理軌跡方程的全部內容，將運動方程變為軌跡方程的過程：1、運動方程的表達式為r=r(t),在二維坐標系上一般表示為：r(t)=x(t)i+y(t)j。2、質點的軌道方程，表示的是質點運動的曲線方程，表達式為：y=f(x)。3、在運動方程的分量式中。
