目錄第二數(shù)學歸納法典型例題 數(shù)學歸納法為什么是對的 數(shù)學歸納法的證明過程 三大數(shù)學歸納法 第一歸納法和第二歸納法區(qū)別
數(shù)學歸納法就是在一個已知n=k滿足條件,證明n=k+l也滿足條件。
求前n個正整數(shù)平方和：
已經(jīng)知道公式n(n+1)(2n+1)/6
1）當n=1時，結(jié)論成立。
2）假設(shè)n=k(k是正整數(shù)，且中螞k不小于1），1^2+2^2+……k^2=k(k+1)(2k+1)/6
那賣孫埋么1^2+2^2……k^2+(k+1)^2=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
證明(k+1)^2=(k+1)(k+2)(2k+3)/6-k(k+1)(2k+1)/6
剩下的，就由你自己來做吧，我只給凱凳你指明方向。
數(shù)學歸納法的過程分為兩租鎮(zhèn)部分：
（1）先證明n=1時命題成立,在實際操作中,把n=1代進去就行了,就像要你證明“當n+1時1+n=2成立”
（2）假設(shè)n=k時命題成立,證明n=k+1時命題成立
你可以這樣理第一部分證明n=1成立.絕大部分命題,n取任意非零自然數(shù)都成立,既然這樣,先兆寬證最基本的n=1吧.
第二部分,既然當n=k成立時,n=k+1成立,那么,n=1已經(jīng)證明成立了,n=1+1,也就是n=2時也會成立.n=2成立,按照慣例n=2+1,也就是n=3成立.按照慣例,n=3+1,n=4+1……都會成立,所以所有的自然數(shù)都能使命題成立.
你可以把第一弊猜粗部分當作一個堅實的基礎(chǔ),既然n取任意自然數(shù)成立（大部分命題是如此）,那么n=1成立是理所當然的.第二部分是一個骨牌的過程,1證明2,2證明3,3證明4……證明所有非0自然數(shù).
數(shù)學租尺歸納法是一種數(shù)學證明方法，典型地用于確定一個表達式在所有自然數(shù)范圍內(nèi)是成立的或者用于確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。有一種用于數(shù)理邏輯和計算機科學廣義的形式的觀點指出能被求出值的表達式是等價表達式；這就是著名的結(jié)構(gòu)歸納法。
已知最早的使用數(shù)學歸納法的證明出現(xiàn)于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年)。Maurolico 證明了前 n 個奇數(shù)的總和是 n^2。
最簡單和常見的數(shù)學歸納法證明方法是證明當n屬于所有自然數(shù)時一個表達式成，這種方法是由下面兩步組成:
遞推的基礎(chǔ): 證明當n = 1時表達脊緩式成立。
遞推的依據(jù): 證明如果當n = m時成立，那么當n = m + 1時同樣成立。(遞推的依據(jù)中的“如果”被定義為歸納假設(shè)。 不要把整個第二步稱為歸納假設(shè)。)
這個方法的原理在于第一步證明起始值在表達式中是成立的，然后證明一個值到下一個值的證明過程是有效的。如果這兩櫻型模步都被證明了，那么任何一個值的證明都可以被包含在重復(fù)不斷進行的過程中。或許想成多米諾效應(yīng)更容易理解一些；如果你有一排很長的直立著的多米諾骨牌那么如果你可以確定：
第一張骨牌將要倒下。
只要某一個骨牌倒了,與他相臨的下一個骨牌也要倒。
那么你就可以推斷所有的的骨牌都將要倒。
數(shù)學歸納法的原理作為自然數(shù)公理，通常是被規(guī)定了的(參見皮亞諾公理第五條)。但是它可以用一些邏輯方法證明；比如，如果下面的公理：
自然數(shù)集是有序的
被使用。
注意到有些其他的公理確實的是數(shù)學歸納法原理中的二者擇一的公式化。更確切地說，兩個都是等價的。
從嚴格的數(shù)學角度來說，數(shù)學歸納法是一個嚴格的數(shù)學定理，注意不是公理。它是可以在集合論的一系列公理下被證明的。證明如下：
數(shù)學歸納法對解題的形式要求嚴格，數(shù)學歸納法解題過程中：
第一步：驗證n取第一個自然數(shù)時成立。
第二步：假設(shè)n=k時成立，然后以驗證的條件和假設(shè)的條件作為論證的依據(jù)進行推導(dǎo)，在接下來的推導(dǎo)過程中不能直接將n=k+1代入假設(shè)的原式中去。
最后一步總結(jié)表述。
需要強調(diào)是數(shù)學歸納法的兩步都很重要，缺一不可，否則可能得到下面的荒謬證明：
證明1：所有的馬都是一種顏色。
首先，第一步，這個命題對n=1時成立，即，只有1匹馬亮巖謹時，馬的顏色只有一種。
第二步，假設(shè)這個命題對n成立，即假設(shè)任何n匹馬都是一種顏色。那么當我們有n+1匹馬時，不妨把它們編好號：
1, 2, 3……n, n+1。
對其中（1、2……n）這些馬，由我們的假設(shè)可以得到，它們都是同一種顏色。
對（2、3……敬基n、n+1）這些馬，我們也可以得到它們是一種顏色。
由于這兩組中都有（2、3、……n）這些馬，所以可以得到，這n+1種馬都是同一種顏色。
這個證明的錯誤來于推理的第二步：當n=1時，n+1=2，此時馬的編號只有1、2，那么分的兩組是（1）和（2）——它們沒有交集，所以第二步的推論是錯誤的。數(shù)學歸納法第二步要求n→n+1過程對n=1，2，3……的數(shù)都成立。
而上面的證明就好比多米諾骨牌的第一塊和第二塊之間間隔太大，推倒了第一塊，但它不會推倒第二塊。即使我們知道第二塊倒下會推倒第三塊棗亮等等，但這個過程早已在第一和第二塊之間就中斷了。
合理性
數(shù)學歸納法的原理，通常被規(guī)定作為自然數(shù)公理（參見皮亞諾公理）。但是在另一些公理的基礎(chǔ)上，它可以用一些邏輯方法證明。數(shù)學歸納法原理可以由下面的良序性質(zhì)（最小自然數(shù)原理）公理可以推出：
自然數(shù)集是良序的。（每個非空的正整數(shù)集合都有一個最小的元素）。
比如{1, 2, 3 , 4, 5}這個正整數(shù)集合中有最小的數(shù)——1。
下面我們將通過這個性質(zhì)來證明數(shù)學歸納法：
對于一個已經(jīng)完成上述兩步證明的數(shù)學命題，我們假設(shè)它并不是對于所有的正整數(shù)都成立。
對于那些不成立的數(shù)所構(gòu)成的集合S，其中必定有一個最小的元素k。（1是不屬于集合S的，所以k>1）。
k已經(jīng)是集合S中的最小元素了，所以k-1是不屬于S，這意味著k-1對于命題而言是成立的——既然對于k-1成立，那么也對k也應(yīng)該成立，這與我們完成的第二步驟矛盾。所以這個完成兩個步驟的命題能夠?qū)λ衝都成立。
注意到有些其它的公理確實是數(shù)學歸納法原理的可選的公理化形式。更確切地說，兩者是等價的。
以上內(nèi)容參考-數(shù)學歸納法
1、(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立；
2、(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立。
這種方法的原理頌芹在于：首先證明在某個起點值時命題成立，然后證明從一個值到下一個值的過程有效。當這兩點都已經(jīng)證明，那么任意值都可以通過反復(fù)使用這個方法推導(dǎo)出山姿來。
擴展資料
1、歸納可分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法是前提包含該類對象的全體，從而對該類對象作出一般性結(jié)論的方法。
2、歸納和野唯畢演繹反映了人們認識事物兩條方向相反的思維途徑，前者是從個別到一般的思維運動，后者是從一般到個別的思維運動。
3、歸納推理是從認識研究個別事物到總結(jié)、概括一般性規(guī)律的推斷過程。在進行歸納和概括的時候，解釋者不單純運用歸納推理，同時也運用演繹法。
