目錄高中常用構(gòu)造函數(shù)公式口訣 導(dǎo)數(shù)問題中的14種構(gòu)造函數(shù)的方法 數(shù)學(xué)構(gòu)造函數(shù)的幾種形式 構(gòu)造函數(shù)法解決不等式問題 高中構(gòu)造函數(shù)常見模板
構(gòu)造法屬于非常規(guī)思維，它適用于對某些常規(guī)方法不易解決的問題，既巧妙，又簡潔。其主要思想是依據(jù)題設(shè)條件特點(diǎn)，以所求結(jié)論為方向，在思維中形成新的數(shù)學(xué)形式，使得問題在這種形式下，擁有簡捷解決的方法。由于它主要表現(xiàn)出思維的試探性，所以是競賽中重要的解題方法之一。
1、構(gòu)造方程法
構(gòu)造方程通常是構(gòu)造一些特殊的方程，如一元二次方程等。因?yàn)橐辉畏匠瘫旧砭哂幸恍┛蓴U(kuò)展的內(nèi)容，如方程有實(shí)根則判別式大于零或等于零；其根與系數(shù)之間具有非常特殊的關(guān)系—韋達(dá)定理；方程在區(qū)間上有實(shí)根可與函數(shù)和圖象產(chǎn)生對應(yīng)關(guān)系等等。通過構(gòu)造方程，可以將一些“相等關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“不等關(guān)系”，或者將“不等關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“相等關(guān)系”。
例1為實(shí)數(shù)，且滿足 則求 的范圍。
分析： 由已知條件得 ，所以根據(jù)韋達(dá)定理可構(gòu)造一元二次方程
此方程有兩實(shí)根，其判別式不小于零，即有
由此可得的取值范圍是[1,9]。
這里需要說明的是：在具體的問題中要構(gòu)造什么方程，要看具體問題的明枯需求而定，但凡是涉及“兩數(shù)之和或兩數(shù)之積”，應(yīng)該想到可通過韋達(dá)定理來構(gòu)造方程，凡涉及與判別式結(jié)構(gòu)類似的關(guān)系式也應(yīng)該想到可以構(gòu)造相應(yīng)的方程。
例2已知 是正 的外接圓 （劣弧）上任一點(diǎn)，求證：
例3 確定方程組的所有整數(shù)解,方程組為
分析：此題是較高次的方程組，難度很大，但由 可求出 ，從而可用與方程有關(guān)的知識，問題就比較容易解決。
2、構(gòu)造函數(shù)法
函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的思想，在初等數(shù)學(xué)中，聯(lián)系著數(shù)、式、不等式、數(shù)列、曲線等方面的問題，構(gòu)造函數(shù)就是從問題本身的特點(diǎn)出發(fā)構(gòu)造一個新的函數(shù)，再利用函數(shù)性質(zhì)去求得問題的解。
例4 已知 是滿足的實(shí)數(shù)，試確定 的最大值。
3、構(gòu)造圖形法
例6求函數(shù) 的值域。
分析：此關(guān)系反映了過兩點(diǎn) 的直線的斜率，而 點(diǎn)是單位圓 上的點(diǎn)，所以考慮當(dāng) 在單位圓上運(yùn)動時(shí)直線 的斜率的取值范圍，易得斜率范圍為
需要注意的是：要構(gòu)造圖形解題首先考慮一些基本代數(shù)式與幾何圖形的對應(yīng)關(guān)系，如方程與直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線及一些基本圖形的性質(zhì)的代數(shù)表達(dá)式，如三角函數(shù)的正弦、余弦定理等。
4、構(gòu)造模型
將問題中的條件，數(shù)量關(guān)系等，在已構(gòu)造的模型上實(shí)現(xiàn)并得到一種解釋，從而實(shí)現(xiàn)問題的證明，具體解題過程中有些模型能從問題本身的條件中獲得，而有些模型構(gòu)造精巧。
例7證以頂點(diǎn)在單位圓上的銳角三角形的三角的余弦之和小于該三角形周長之半。
5、構(gòu)造不等式法
在一些問題特別是函數(shù)的最值問題中，其條件或函數(shù)關(guān)整理系式的構(gòu)成，往往隱含著一梁圓些限制條件，如方程有解時(shí) ，一些基本不等式 等，充分利用它們可構(gòu)成不等式，使問題得到解決。
（全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）
6、構(gòu)造距離法
例10設(shè) ，求 的最小值。
分析： 可變形為 。其中 為點(diǎn) 與點(diǎn) 之間距離的平方，而此兩點(diǎn)分別在直線 及 上，根據(jù)兩直線位置情況，不難知道兩直線上的點(diǎn)之間最短距離為 。從而可知 的最小值為6。
7、構(gòu)造對應(yīng)關(guān)系
所謂構(gòu)造對應(yīng)關(guān)系即將一件事與另一件事相對應(yīng)，在處理一些計(jì)數(shù)問題時(shí)常用這種方法，由于有時(shí)直接滿足某些要求的元素的個數(shù)可能比較困難，但考慮與之相對應(yīng)的另一類元素就可能較容易。
例11試問方程 有多少組正整數(shù)解。
分析： 可構(gòu)造這樣一個對應(yīng)關(guān)系：將2002個完全相同的球排成一排，則它們有2001個間隔，將1000塊板插入這2001個間隔中（每間隔只能插進(jìn)一個板），則顯然每組插法與原方程的每一組解產(chǎn)生一一對應(yīng)關(guān)系，而此時(shí)2001個間隔中人選1000個間隔分別插入一塊板，顯然共有 種不同的插法，所以原方程共有 個不同的整數(shù)解。
構(gòu)造法的應(yīng)用，對于考試及競賽中靈活應(yīng)試，以及培養(yǎng)能力、啟迪思橡槐塌維具有十分重要的意義。上面僅僅是常見的集中構(gòu)造法，還有很多構(gòu)造類型，如構(gòu)造復(fù)數(shù)、構(gòu)造等價(jià)命題、構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造恒等式、構(gòu)造結(jié)論、構(gòu)造復(fù)數(shù)等。在數(shù)學(xué)構(gòu)造中，針對不同的題型，巧妙的利用題中條件或結(jié)論使問題得到解決。這種獨(dú)到的方法往往在解題過程中使解題思路開闊很多，更減少了解題過程中不必要的麻煩。但同時(shí)，構(gòu)造法是一種較靈活的方法，不同的題型要用不同的方法來解決。總之，構(gòu)造法是一種靈活性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)解題方法，它要求解題者具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識，敏銳的觀察能力及豐富的想象力，這樣才能在做題過程中起到事半功倍的效果。
構(gòu)造函數(shù)法在解題中的應(yīng)用
摘要：函數(shù)思想是數(shù)學(xué)思想的有機(jī)組成部分,它在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用越來越廣泛。本文就構(gòu)造函數(shù)這一方法在不等式、數(shù)列、方程有解及恒成立問題等方面的應(yīng)用舉例說明。
關(guān)鍵詞：函數(shù)思想；構(gòu)造函數(shù)；不等式；方程；應(yīng)用
函數(shù)思想，指運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)，通過類比聯(lián)想轉(zhuǎn)化合理地構(gòu)造函數(shù)，然后去分析、研究問題，轉(zhuǎn)化問題并解決問題。因此函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)量特征，建立函數(shù)關(guān)系。
函數(shù)思想在數(shù)學(xué)應(yīng)用中占有重要的地位，應(yīng)用范圍很廣。函數(shù)思想不僅體現(xiàn)在本身就是函數(shù)問題的高考試題中，而且對于諸如方程、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何等問題也常常可以通過構(gòu)造函數(shù)來求解。
根據(jù)需要，構(gòu)造輔助函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中一種常用的方法，這種方法也已滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)中。首先解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，用函數(shù)的觀點(diǎn)加以分析，常可使問題變得明了，從而易于找到一種科學(xué)的解題途徑。其次數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)中的一種基本關(guān)系。現(xiàn)實(shí)世界的復(fù)雜性決定了數(shù)量關(guān)系的多元性。因此，如何從多變元的數(shù)量關(guān)系中選定合適的主變元，從而揭示其中主要的函數(shù)關(guān)系，有時(shí)便成了數(shù)學(xué)問題能否“明朗化”的關(guān)鍵所在。下面我們舉例說明構(gòu)造函數(shù)的方法在解題中的應(yīng)用。
一、構(gòu)造函數(shù)解決有關(guān)不等式的問題
有些不等式證明和比較大小的問題，如能根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，從函數(shù)的單調(diào)孫卜性或有界性局?jǐn)y等角度入手，去分析推理，證明過程就會簡潔又明快。
例1：若，則 的大小關(guān)系是。
分析：式中各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)相同，只是字母不同，故可構(gòu)造函數(shù) 進(jìn)行判斷。
解：構(gòu)造函數(shù) ，易證函數(shù)在其區(qū)間 是單調(diào)遞增函數(shù)。
例2(2008年山東理)：已知函數(shù) 其中為常數(shù)。當(dāng) 時(shí)，證明：對任意的正整數(shù) ，當(dāng) 時(shí)，有
證法一：因?yàn)?，所以 。
當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，令 則 （ ）所以當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增。又 ，因此 恒成立，所以 成立。當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，要證 ，由于 ，所以只需證 ，令 ，則 （ ），所以，當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增，又 ，所以當(dāng) 時(shí)，恒有 ，即 命題成立。
綜上所述，結(jié)論成立。
證法二：當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)，對任意的正整數(shù) ，恒有 ，故只需證明 。令則 ，當(dāng) 時(shí)， ，故 在 上單調(diào)遞增，因此當(dāng) 時(shí)， ，即 成立。故當(dāng) 時(shí)，有 ，即 。
試題分析：第二問需要對構(gòu)造的'新函數(shù) 進(jìn)行“常規(guī)處理”，即先證單調(diào)性，然后求最值，最后作出判斷。
評注：函數(shù)類問題的解題方法要內(nèi)悟、歸納、整理，使之成為一個，在具體運(yùn)用時(shí)自如流暢，既要具有一定的思維定向，也要謹(jǐn)防盲目套用。函數(shù)與不等式之間如同一對孿生兄弟，通過對不等式結(jié)構(gòu)特征的分析，來構(gòu)造函數(shù)模型，常常可以收到出奇制勝的效果。此類問題對轉(zhuǎn)化能力要求很高，不能有效轉(zhuǎn)化是解題難以突破的主要原因，要善于構(gòu)造函數(shù)證明不等式，從而體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的性。
二、構(gòu)造函數(shù)解決數(shù)列中的有關(guān)問題
數(shù)列的實(shí)質(zhì)是函數(shù),用函數(shù)思想解數(shù)列問題能夠加深對數(shù)列概念及公式的理解,加強(qiáng)知識點(diǎn)間的聯(lián)系.
例3：在等差數(shù)列中，已知 Sp = q , Sq = p ( p ≠q) ,求 Sp+q 的值。
略解：因?yàn)槭莕的一次函數(shù)，點(diǎn)( n ,) 共線，所以點(diǎn) （p , ） , ( q, ) ,( p + q ,)共線， 則有化簡即得 Sp+q= －( p + q ) 。
例4：等差數(shù)列{ }的首項(xiàng) ,前 項(xiàng)的和為 ,若 ,問 為何值時(shí) 最大?
簡析:運(yùn)用數(shù)列中桐凱伏的通項(xiàng)公式的特點(diǎn),把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決。
解:依題意,設(shè)此函數(shù)是以 為自變量的二次函數(shù)。
故二次函數(shù) 的圖象開口向下當(dāng) 時(shí), 最大,但 中,當(dāng) 為偶數(shù)時(shí),時(shí),最大當(dāng) 為奇數(shù)時(shí),時(shí),最大。
三、構(gòu)造函數(shù)解決方程有解、無解及若干個解的問題
方程有解、無解問題可以用“變量分離法”轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，或直接構(gòu)造函數(shù)。
例5(2010上海文科數(shù)學(xué))：若 是方程式 的解，則 屬于區(qū)間()
A. （0，1）B.（1，1.25）C.（1.25，1.75）D.（1.75，2）
解析：
知 屬于區(qū)間（1.75，2）
例6（2010天津文科數(shù)學(xué)）：設(shè)函數(shù)f(x)=x- ,對任意 恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________。答案：m<-1解析：本題主要考查了恒成立問題的基本解法及分類討論思想，屬于難題。
模型1，若f'（x）的系數(shù)為x，且同時(shí)出現(xiàn)與f（x）的和或差，考慮構(gòu)造x與f（x）的積或者商。
模型2，若出現(xiàn)f（x）與f'（x）且系數(shù)相同時(shí)，考慮構(gòu)造e與f（x）的積枝顫或者商。
模型3，若出現(xiàn)f（x）與f'（x）系數(shù)分別是常數(shù)和x時(shí)，考慮構(gòu)造x"與f（x）的積或者商。
模型4，若出現(xiàn)f（x）與f'（x）且系數(shù)為sinx與COSx時(shí)，考慮構(gòu)造sinx與f（x）的積或者商，或者cosx與f（x）的積或者商。
構(gòu)造輔助函數(shù)是謹(jǐn)搭拆求解導(dǎo)祥棗數(shù)問題的常用策略，而構(gòu)造函數(shù)的方法技巧較為眾多，需要結(jié)合具體問題合理選用。解題時(shí)所構(gòu)函數(shù)的形式不同，獲得的解題效果也不相同，文章對導(dǎo)數(shù)問題加以剖析，結(jié)合實(shí)例簡要探討作差構(gòu)造、拆分構(gòu)造、換元構(gòu)造和特征構(gòu)造四種構(gòu)造技巧，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議。
用構(gòu)造函數(shù)解導(dǎo)數(shù)問題：
近幾年高考數(shù)學(xué)壓軸題，多以導(dǎo)數(shù)為來證明不等式或求參數(shù)的范圍，這類試題具有結(jié)構(gòu)獨(dú)特、技巧性高、綜合性強(qiáng)等特點(diǎn)，而構(gòu)造函數(shù)是解導(dǎo)數(shù)問題的最基本方法，但在平時(shí)的教學(xué)和考試中，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生不會合理構(gòu)造函數(shù)，結(jié)果往往求解非常復(fù)雜甚至是無果而終．
函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中數(shù)學(xué)中兩大思想，而構(gòu)造函數(shù)的解題思路恰好這兩種思想的統(tǒng)一體現(xiàn)，尤其是反映在導(dǎo)數(shù)題型中。
構(gòu)造函數(shù)證明拉格朗日定理如下：
拉格朗日中值定理是考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，經(jīng)常出現(xiàn)在證明題中，是考研數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。2009年的考研數(shù)學(xué)(包括數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三)真題中的一道證明題中的第一問甚至要求證明該定理。
下面文都考研數(shù)學(xué)教研老師結(jié)合該真題，給出該定理的三種證明思路，希望能幫助同學(xué)們掌握和利用該定理。
首先，我們一起看一下該定理：
(拉格朗日中值定理)
然后，我們一弊御起學(xué)習(xí)三種具體的證明方法：
1、原函數(shù)構(gòu)造法
下面給出具體的證明過滑則程：
2、作差構(gòu)造函數(shù)法
該法也主要利用羅爾定理證明，只是函數(shù)構(gòu)造方法與1有所不同，下面給出具體的證明過程：
2018考研數(shù)學(xué):拉格租讓巖朗日中值定理的三種證明方法
3、行列式法
考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)
上述三種方法都是基于羅爾定理證明的，主要是構(gòu)造出一個滿足羅爾定理的函數(shù)。拉格朗日中值定理的證明方法，同學(xué)們務(wù)必要牢牢掌握至少一種。另外，同學(xué)們在做與拉格朗日中值定理相關(guān)的證明題時(shí)，可以借鑒上述三種方法來構(gòu)造函數(shù)。
從拉格朗日中值定理的證明方法中，我們也會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的方法多種多樣，不拘泥于一種形式。所以，在平時(shí)的做題過程中，同學(xué)們要靈活多變，注意選用適合的方法解決題目。
把基本的記得就行了：(X?)' = n×X?﹣1 ；如：(3X?)′= 4×3X3=12X3, (X)'=1×X1﹣1=1
（求導(dǎo)時(shí)系數(shù)不變）
(lnX)'= 1/X；(lgX)'=[(lnX)/(ln10)]'=(lnX)'/ln10=1/(Xln10)
[af(x)]' = a[f(x)'];（其中亂迅a為系數(shù)）
[f(x)±g(x)]' = f(x)'±g(x)'；如：2X + lnX = 2+1/X
[f(x)g(x)]'=f(x)×g(x)'+f(x)'×g(x) ；如：X3 × lnX = X3/X + 3X2×lnX = X2+3X2lnX
[f(x)/g(x)]'=[f(x)'×g(x)-f(x)×g(x)']/g2(x)；如：(lnX)/X = [(1/X)X - lnX] / X2
[f(g(x))]'=f'(g(x))×g'(x)；如：ln(X3) = (1/X3)×(3X2)
(sinX)'=cosX；如：(sin2X)'=(cos2X)×2
(cosX)'= ﹣sinX
(tanX)'=(sinX／盯陪悔cosX)'=[cos2X＋sin2X]／cos2X=1/cos2X
這些是最基本的，也是必須記得特別熟練的，這樣不管什么考題都不怕了；
高中一般用導(dǎo)數(shù)凱正用來求最值，很方便的，導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)就是極值點(diǎn)（注意，還不是最值），你再分析單調(diào)區(qū)間和兩端點(diǎn)的值就可以得出最值了，這些書上都有，掌握原理就得了。
（千萬不要偷懶，一定要背熟上面的基本，否則不光高考要吃虧，到了大學(xué)你學(xué)積分時(shí)也會搞不懂的，因?yàn)檫@些都是學(xué)習(xí)積分的最最基礎(chǔ)，而且假如以后你要考研究生，對于理工類的學(xué)生來說，積分也是最熱點(diǎn)考題！！！）
