數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)？數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)（Mathematical morphology） 是一門建立在格論和拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)之上的圖像分析學(xué)科，是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)圖像處理的基本理論。其基本的運(yùn)算包括：二值腐蝕和膨脹、二值開閉運(yùn)算、骨架抽取、極限腐蝕、擊中擊不中變換、那么，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)？一起來(lái)了解一下吧。
數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)（Mathematical morphology） 是一門建立在格論和拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)之上的圖像分析學(xué)科，是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)圖像處理的基本理論。其基本的運(yùn)算包括：二值腐蝕和膨脹、二值開閉運(yùn)算、骨架抽取、極限腐蝕、擊中擊不中變換、形態(tài)學(xué)梯度、Top-hat變換、顆粒分析、流域變換、灰值腐蝕和膨脹、灰值開閉運(yùn)算、灰值形態(tài)學(xué)梯度等。
膨脹 dilation
考慮兩幅二值圖像A,B。它們的前景用黑色，背景用白色。另fA和fB表示各自前景點(diǎn)的集合。定義膨脹運(yùn)算為：dilation(A,B) = {a+b| a∈A,b∈B}。比如： A = {(2,8),(3,6),(4,4),(5,6),(6,4),(7,6),(8,8)} B = {(0,0),(0,1)} dilation(A,B) = {(2,7),(2,8),(3,5),(3,6),(4,3),(4,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(7,5),(7,6),(8,7),(8,8)}
腐蝕 erosion
同樣考慮兩幅圖像A,B。定義腐蝕運(yùn)算為: erosion(A,B) = {a|(a+b)∈A, a∈A,b∈B}.
膨脹腐蝕運(yùn)算的性質(zhì)
交換律 dilation(A,B) = dilation(B,A) 結(jié)合律 dilation(dilation(A,B),C) = dilation(A,dilation(B,C)) 并集 dilation(A,B∪C) = dilation(A,B)∪dilation(A,C) 增長(zhǎng)性 if A blongs to B then dilation(A,K) blongs to dilation(B,K)
歷史
數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)誕生于1964年，由當(dāng)時(shí)法國(guó)巴黎礦業(yè)學(xué)院的馬瑟榮（G. Matheron）和賽拉（J. Serra）兩人共同奠定了其理論基礎(chǔ)。
數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本思想及方法適用于與圖像處理有關(guān)的各個(gè)方面，如基于擊中/擊不中變換的目標(biāo)識(shí)別，基于流域概念的圖像分割， 基于腐蝕和開運(yùn)算的骨架抽取及圖像編碼壓縮，基于測(cè)地距離的圖像重建，基于形態(tài)學(xué)濾波器的顆粒分析等。迄今為止， 還沒(méi)有一種方法能像數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)那樣既有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，簡(jiǎn)潔、 樸素、 統(tǒng)一的基本思想，又有如此廣泛的實(shí)用價(jià)值。有人稱數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在理論上是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模诨居^念上卻是簡(jiǎn)單和優(yōu)美的。
數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是一門建立在嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上的學(xué)科，其基本思想和方法對(duì)圖像處理的理論和技術(shù)產(chǎn)生了重大影響。事實(shí)上， 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)已經(jīng)構(gòu)成一種新的圖像處理方法和理論，成為計(jì)算機(jī)數(shù)字圖像處理及分形理論的一個(gè)重要研究領(lǐng)域， 并且已經(jīng)應(yīng)用在多門學(xué)科的數(shù)字圖像分析和處理的過(guò)程中。這門學(xué)科在計(jì)算機(jī)文字識(shí)別， 計(jì)算機(jī)顯微圖像分析(如定量金相分析，顆粒分析)， 醫(yī)學(xué)圖像處理（例如細(xì)胞檢測(cè)、心臟的運(yùn)動(dòng)過(guò)程研究、 脊椎骨癌圖像自動(dòng)數(shù)量描述），圖像編碼壓縮， 工業(yè)檢測(cè)(如食品檢驗(yàn)和印刷電路自動(dòng)檢測(cè))，材料科學(xué)， 機(jī)器人視覺(jué)，汽車運(yùn)動(dòng)情況監(jiān)測(cè)等方面都取得了非常成功的應(yīng)用。另外，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在指紋檢測(cè)、經(jīng)濟(jì)地理、合成音樂(lè)和斷層X(jué)光照像等領(lǐng)域也有良好的應(yīng)用前景。
數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是由一組形態(tài)學(xué)的代數(shù)運(yùn)算子組成的，它的基本運(yùn)算有4個(gè)： 膨脹（或擴(kuò)張）、腐蝕（或侵蝕）、開啟和閉合， 它們?cè)诙祱D像和灰度圖像中各有特點(diǎn)。基于這些基本運(yùn)算還可推導(dǎo)和組合成各種數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)實(shí)用算法，用它們可以進(jìn)行圖像形狀和結(jié)構(gòu)的分析及處理，包括圖像分割、特征抽取、邊緣檢測(cè)、 圖像濾波、圖像增強(qiáng)和恢復(fù)等。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法利用一個(gè)稱作結(jié)構(gòu)元素的“探針”收集圖像的信息，當(dāng)探針在圖像中不斷移動(dòng)時(shí)， 便可考察圖像各個(gè)部分之間的相互關(guān)系，從而了解圖像的結(jié)構(gòu)特征。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基于探測(cè)的思想，與人的FOA(Focus Of Attention)的視覺(jué)特點(diǎn)有類似之處。作為探針的結(jié)構(gòu)元素，可直接攜帶知識(shí)（形態(tài)、大小、甚至加入灰度和色度信息）來(lái)探測(cè)、研究圖像的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。
數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)(Mathematical Morphology)誕生于1964年，是由法國(guó)巴黎礦業(yè)學(xué)院博士生賽拉(J. Serra)和導(dǎo)師馬瑟榮，在從事鐵礦核的定量巖石學(xué)分析及預(yù)測(cè)其開采價(jià)值的研究中提出“擊中/擊不中變換”， 并在理論層面上第一次引入了形態(tài)學(xué)的表達(dá)式，建立了顆粒分析方法。他們的工作奠定了這門學(xué)科的理論基礎(chǔ)， 如擊中/擊不中變換、開閉運(yùn)算、布爾模型及紋理分析器的原型等。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本思想是用具有一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素去量度和提取圖像中的對(duì)應(yīng)形狀以達(dá)到對(duì)圖像分析和識(shí)別的目的。
數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)（mathematical morphology）是數(shù)字圖像處理領(lǐng)域中的一門新興學(xué)科，它是研究數(shù)字圖像影像結(jié)構(gòu)特征與快速并行處理方法的理論。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是建立在集合論的基礎(chǔ)上，并溶入了積分幾何理論。其主要思想是通過(guò)使用一種稱為結(jié)構(gòu)元素的已知結(jié)構(gòu)小影像特征集合與影像目標(biāo)相比較來(lái)完成各種復(fù)雜的運(yùn)算——形態(tài)變換。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)可用來(lái)進(jìn)行二值圖像、灰度圖像及彩色圖像的分析。但基于大多數(shù)礦圖的現(xiàn)狀，我們重點(diǎn)研究了二值圖像的形態(tài)變換。
設(shè)X、Y為待處理的二值圖像，B是所使用的結(jié)構(gòu)元素，通常B是由3×3窗口所定義（最小結(jié)構(gòu)元素），則可定義如下基本形態(tài)變換：
（1）膨脹（Dilation）
工礦區(qū)環(huán)境動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)與分析研究
它是結(jié)構(gòu)元素B在圖像X所有目標(biāo)元素位置上平移后點(diǎn)的軌跡。
（2）腐蝕（Erosion）
工礦區(qū)環(huán)境動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)與分析研究
它是把結(jié)構(gòu)元素B平移后放于圖像X的某個(gè)位置上，當(dāng)B上各點(diǎn)都與X上相應(yīng)點(diǎn)重合時(shí)，B的原點(diǎn)位置的軌跡。
（3）斷開（Opening）
工礦區(qū)環(huán)境動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)與分析研究
它是對(duì)圖像X先腐蝕后膨脹，其結(jié)果是X中能恰好完全包含B的部分，從而去掉圖像上的微小連接、毛刺和凸出部分。
（4）閉合（Closing）
工礦區(qū)環(huán)境動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)與分析研究
與斷開運(yùn)算相反，閉合運(yùn)算能去掉圖像X中的小孔和凹部并連接斷線。
以上就是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的全部?jī)?nèi)容，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)（mathematical morphology）是數(shù)字圖像處理領(lǐng)域中的一門新興學(xué)科，它是研究數(shù)字圖像影像結(jié)構(gòu)特征與快速并行處理方法的理論。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是建立在集合論的基礎(chǔ)上，并溶入了積分幾何理論。
