目錄中線倍長(zhǎng)構(gòu)造全等的所有題型 倍長(zhǎng)中線是什么時(shí)候?qū)W的 全等三角形之倍長(zhǎng)中線 初二數(shù)學(xué)倍長(zhǎng)中線經(jīng)典例題 數(shù)學(xué)中什么叫重線
1.如圖，過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，任作一條直線EF，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，對(duì)角線AC，BD相交點(diǎn)O.
（1）求證：BE+EF=EF(2)求證：△BDF為等腰三角形
2.在RT△ABC中，轎念慎∠C=90°，AC=BD，PE⊥AC，PF⊥BC，求證：DE=DF（自己作圖）
（運(yùn)用到的知識(shí)：1.等腰直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半
2.全等3.矩形的對(duì)邊相等4.直角等腰三角形的性質(zhì)5.輔助線的做法等）
3.在閉敬△ABC中，O為△ABC的重心。（自己作圖）（運(yùn)用到的知識(shí)：1.中點(diǎn)，中位線的性質(zhì)2.全等3.三角形的面積4.三等分點(diǎn)5.重心的性質(zhì)）
（1）求證：OD=1／2AO
(2)如果S△高型BOD=3,求S△ABC
延長(zhǎng)邊上=的中線，使所延長(zhǎng)部分與中線相等，然后往往需要旁激連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，運(yùn)明襪則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等。
“倍長(zhǎng)中線”是指加倍延長(zhǎng)中線，使所延長(zhǎng)部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長(zhǎng)法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（通常用“SAS”證明）（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時(shí)用，不太會(huì)有自己畫中線的時(shí)候）。
相關(guān)信息：
幾何沒有唯一的解法，也不像代數(shù)按照一個(gè)方法，一個(gè)套路去完成所有的題。但是，所有的已知條件都是在通關(guān)打怪獸的道路上的秘密鑰匙，唯有對(duì)上密碼的人可以打開相應(yīng)的鑰匙，而老師要傳授的就是這些鑰匙可能用上的秘訣，唯有不斷修槐神煉，才能快速通關(guān)。
文庫(kù)早雀拆歲譽(yù)：http://wenku.baidu.com/view/003c9124ccbff121dd36839f.html
還有這陸棗個(gè)http://zhidao.baidu.com/question/116603344.html?fr=ala0
你的QQ是什么？截長(zhǎng)補(bǔ)短法截長(zhǎng)補(bǔ)短法是幾何證明題中十分重要的方法。通常來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系。截長(zhǎng)補(bǔ)短法有多種方法。截長(zhǎng)法：（1）過某一點(diǎn)作長(zhǎng)邊的垂線（2）在長(zhǎng)邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。……補(bǔ)短法（1）延長(zhǎng)短邊。旁鉛寬（2）通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起。……例：在正方形ABCD中，DE=DF，DG CE，交CA于G，GH AF，交AD于P，交CE延長(zhǎng)線于H，請(qǐng)問三條粗線DG，GH，CH的數(shù)量關(guān)系 方法一（好想不好證）方法二（好證不好想）例題不詳解。（第2頁(yè)題目答案見第3、4頁(yè)）（1）正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在BC上， EAF=45 。求證：EF=DE+BF（1）變形a正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線上， EAF=45 。請(qǐng)問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關(guān)系？（1）變形b正方形ABCD中，點(diǎn)E在DC延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上， EAF=45 。請(qǐng)問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關(guān)系？（1）變形c正三角形ABC中，E在AB上，F(xiàn)在AC上 EDF=45 。DB=DC， BDC=120 。請(qǐng)問現(xiàn)在EF、BE、CF又有什么數(shù)量關(guān)系？（1）變形d正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在BC上， EAD=15 ， FAB=30 。AD= 求 AEF的面積（1）解：（簡(jiǎn)單思路）延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使得DG=BF，連接AG。由四邊形ABCD是正方形得ADG= ABF=90 AD=AB又DG=BF所以激頃 ADG ABF（SAS）GAD= FABAG=AF由四邊形ABCD是正方形得DAB=90 = DAF+ FAB= DAF+ GAD= GAF所以 GAE= GAF- EAF=90 -45 =45 GAE= FAE=45 又AG=AFAE=AE所以 EAG EAF（SAS）EF=GE=GD+DE=BF+DE變形a解：（簡(jiǎn)單思路）EF= BF-DE在BC上截取BG，使得BG=DF，連接AG。由四邊形ABCD是正方形得ADE= ABG=90 AD=AB又DE=BG所以 ADE ABG（SAS）EAD= GABAE=AG由四邊形ABCD是正方形得DAB=90 = DAG+ GAB= DAG+ EAD= GAE所以 GAF= GAE- EAF=90 -45 =45 GAF= EAF=45 又AG=AEAF=AF所以 EAF GAF（SAS）EF=GF=BF-BG=BF-DE變形b解：（簡(jiǎn)單思路）EF=DE-BF在DC上截取DG，使得DG=BF，連接AG。由四邊形ABCD是正方形得ADG= ABF=90 AD=AB又DG=BF所以 ADG ABF（SAS）GAD= FABAG=AF由四邊形ABCD是正方形運(yùn)亮得DAB=90 = DAG+ GAB= BAF+ GAB= GAF所以 GAE= GAF- EAF=90 -45 =45 GAE= FAE=45 又AG=AFAE=AE所以 EAG EAF（SAS）EF=EG=ED-GD=DE-BF變形c解：（簡(jiǎn)單思路）EF=BE+FC延長(zhǎng)AC到點(diǎn)G，使得CG=BE，連接DG。由 ABC是正三角形得ABC= ACB=60 又DB=DC， BDC=120 所以 DBC= DCB=30 DBE= ABC+ DBC=60 +30 =90 ACD= ACB+ DCB=60 +30 =90 所以 GCD=180 - ACD=90 DBE= DCG=90 又DB=DC，BE=CG所以 DBE DCG（SAS）EDB= GDCDE=DG又 DBC=120 = EDB+ EDC= GDC+ EDC= EDG所以 GDF= EDG- EDF=120 -60 =60 GDF= EDF=60 又DG=DEDF=DF所以 GDF EDF（SAS）EF=GF=CG+FC=BE+FC變形d解：（簡(jiǎn)單思路）延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使得DG=BF，連接AG。過E作EH AG.前面如（1）所證，ADG ABF， EAG EAFGAD= FAB=30 ，S EAG=S EAF在Rt ADG中， GAD=30 ，AD= AGD=60 ，AG=2設(shè)EH=x在Rt EGH中和Rt EHA中AGD=60 ， HAE=45 HG= x，AH=xAG=2=HG+AH= x+x,EH=x=3- S EAF=S EAG=EH AG 2=3- .（第5頁(yè)題目答案見第6頁(yè)）（2） 正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于O，點(diǎn)E在BD上，AE平分 DAC。求證：AC/2=AD-EO（2）加強(qiáng)版正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延長(zhǎng)線上，CM=AN，點(diǎn)E在BD上，NE平分 DNM。請(qǐng)問MN、AD、EF有什么數(shù)量關(guān)系？（2）解：（簡(jiǎn)單思路）過E作EG AD于G因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形ADC=90 ，BD平分 ADC，AC BD所以 ADB= ADC/2=45 因?yàn)锳E平分 DAC，EO AC，EG AD所以 EAO= EAG，DGE= AOE= AGE=90 又AE=AE，所以 AEO AEG（AAS）所以AG=AO，EO=EG又 ADB=45 ， DGE=90 所以 DGE為等腰直角三角形DG=EG=EOAD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2 （2）加強(qiáng)版解：（簡(jiǎn)單思路）MN/2=AD-EF過E作EG AD于G，作EQ AB于Q，過B做BP MN于P按照（2）的解法，可求證，GNE FNE（AAS）DGE為等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-EF，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，ABC= GAQ= BCM=90 BD平分 ABC，BC=BAABD= ABC/2=45 ，又 EQB=90 EQB為等腰Rt三角形， BEQ=45 因?yàn)?GAQ= EGA= EQA=90 所以四邊形AGEQ為矩形，EQ=AG=AD-EF，EQ//AGQEN= ENG又 ENG= ENF，所以 QEN= ENF由BC=BA， BCM= BAN=90 ，CM=AN，所以 BCM BAN（SAS）BM=BN， CBM= ABNABC=90 = ABM+ CBM= ABM+ ABN= MBN，又BM=BN所以 MBN為等腰Rt三角形，又BP 斜邊MN于P，所以 NPB為等腰Rt三角形。BP=MN/2， PNB=45 。BNE= ENF+ PNBBEN= QEN+ QEB又 QEN= ENF， PNB= QEB=45 所以 BNE= BENBN=BE，又 PNB= QEB=45 = NBP= EBQ所以 BEQ BNP（SAS）EQ=BP因?yàn)镋Q=AG=AD-EF，BP=MN/2所以AD-EF=MN/2。
（2）.用中線倍長(zhǎng)的方法，如下：
延長(zhǎng)AD至M，是DM=AD，連接MC
在△ADB與△MDC中，
AD=DM
∠ADB=∠MDC（對(duì)頂角相等）
BD=DC
所以△ADB全等△MDC（SAS）
所以AB=MC=2
所以2＜AM＜6（三角形的兩邊之和滲茄大于第三邊，兩邊之差小于第三邊）
因?yàn)樯乐窤M=2AD
所以1＜AD＜3
（1）.因?yàn)椤螦OE
∠EOB=90度，∠BOF
∠或喊配EOB=90度
所以∠AOE=∠BOF
因?yàn)椤螧AO
∠ABO=90度，∠FBO=∠ABO=90度
所以∠BAO=∠FBO（這個(gè)跟上面的條件是根據(jù)同角的余角相等和正方形的性質(zhì)得到，還有一個(gè)OA=OB）
在△AEO與△BFO中，
∠AOE=∠BOF
OA=OB
∠BAO=∠FBO
所以△AEO全等△BFO中（ASA）
所以AE=BF=3
因?yàn)椤螧OF
∠EOB=90度，∠BOF
∠FOC=90度
所以∠EOB=∠FOC
因?yàn)椤螰BO=∠ABO=90度，∠FBO
∠BCO=90度
所以∠ABO=∠BCO（這兩個(gè)也是根據(jù)同角的余角相等和正方形的性質(zhì)得到，還有OB=OC）
在三角形OBE與三角形OCF中，
∠EOB=∠FOC
OB=OC
∠ABO=∠BCO
所以三角形OBE全等三角形OCF（ASA）
所以BE=CF=4
所以S三角形=（BE×BF）/2=6
