當前位置: 首頁 > 學科分類 > 數學

數學分析定理,實數七大定理

  • 數學
  • 2023-11-24

數學分析定理?這是調和級數的變形,是個發散的數列。當n→∞時前n項和應該是∞。可以用高等數學中的冪級數展開去證明其發散性,也可以簡單地這么理解:已知1/3到1/2n+1顯然有n個數(n=1,2,3)取后面n/2個數,那么,數學分析定理?一起來了解一下吧。

中值定理的證明

1、令F(t)=te^t-1

則F(0)=-1<0,F(1)=e-1>0

由介值定理知存在ξ∈(0,1)使得F(ξ)=0

即ξe^ξ-1=0=>ξ=e^(-ξ)

2、h(x)=x單增,g(x)=e^(-x)單減

且x=ξ處h(x)=g(x)。

故(0,ξ)上h(x)g(x)

故當x≠ξ時,x-ξ與e^(-x)-ξ異號

且令

f(x)=(x-ξ)/(e^(-x)-ξ)-1

=(x-e^(-ξ)-ξ+e^(-x))/(e^(-x)-ξ)

=[1/(e^(-x)-ξ)][(x+e^(-x))-(ξ-e^(-ξ))],

且由于y=x+e^(-x)為以ξ為最小值點的對號函數(于(0,1))

故(x+e^(-x))-(ξ-e^(-ξ))>0

當x<ξ時,(e^(-x)-ξ)>0;當x>ξ時,(e^(-x)-ξ)<0

故x<ξ時,|x-ξ|>|e^(-x)-ξ|,

正項數列yn=|xn-ξ|單減到0

{x(2n+1)}單增到ξ,{x(2n)}單減到ξ,{xn}收斂到ξ。

同理x>ξ時,

{x(2n)}單減到ξ,{x(2n+1)}單增到ξ,{xn}收斂到ξ。

證畢

數學著名38個定理

海因一巴拿赫定理(Hahn-Banach theorem)凸集幾何的基本定理.它是關于凸集與超平面的定理.它在泛函分析中有重要的應用。

其關鍵乃是超平面與線性形式之間有著對應關系.若X是仿射空間,A是X的一個非空凸開集,且1是X的一個仿射子空間,使得A門L=必,則存在X的一個超平面,它包含L,并且與A不相交。

在泛函分析中,巴拿赫定理是一個極為重要的。它允許了定義在某個向量空間上的有界線性算子擴張到整個空間,并說明了存在“足夠”的連續線性泛函,定義在每一個賦范向量空間,使對偶空間的研究變得有趣味。

實數系五大基本定理

這是調和級數的變形,是個發散的數列。當n→∞時前n項和應該是∞。可以用高等數學中的冪級數展開去證明其發散性,也可以簡單地這么理解:已知1/3到1/2n+1顯然有n個數(n=1,2,3...)取后面n/2個數,即從1/n+2到1/2n+1,求和,Σ>(n/2)/(2n+1)=1/(4+(2/n));當n→∞時,1/(4+(2/n))=1/4,即:Σ>1/4,不防設前n/2個數最后一位為1/2k+1,同理取前k/2個數,后k/2求和,同樣有:Σ>1/4 由于n→∞,所以是可以無限劃分的,每個1/2的累加都大于1/4, 相當于無窮多個1/4相加,可知該數列發散。實際上對于有限項n,其求和公式為:φ(n+(2/3))/2 +γ/2+ln2-1,其中φ函數=F'/F , F表示gamma函數

數學分析39個重要定理

微分中值定理(即羅爾定理, 拉格朗日定理, 柯西定理, 泰勒定理)是數學分析上冊最重要的內容之一, 想要學好中值定理, 首先要學習它們的證明方法, 需要強調的是拉格朗日中值定理與柯西中值定理均可由羅爾中值定理進行證明, 證明的方法為積分法, 這是構造輔助函數最基本的一種手段, 另外由此也可以看出羅爾中值定理的極端重要性.


1.羅爾中值定理的證明過程如下所示:

注意:羅爾中值定理是微分中值定理的基本,根據之后的積分法可知,拉格朗日中值定理和柯西中值定理是由羅爾中值定理證明的,也就是說,理論上,可以用拉格朗日中值定理或者柯西中值定理的題目,均可以由羅爾中值定理證明。

2.拉格朗日中值定理的證明過程如下所示:

3.柯西中值定理的證明過程如下所示:


經過以上三個微分中值定理的證明過程之后,我們會發現,在拉格朗日中值定理中如果f(a)=f(b),就是羅爾中值定理,在柯西微分中值定理中,如果g(x)=x,那么就成為了拉格朗日中值定理,我們就可以得出他們之間的關系為:拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一種特殊情況,同樣,羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一種特殊情況。

數學分析定理定義匯總

定義1:設f在上有定義,若,則稱f在點連續

定義2:若,則在點連續

定義3:若,使得時有,則稱f在點連續

注:f在點連續即極限運算與對應法則f可交換,

例:證明函數在點連續,其中為Dirichlet函數

證:

定義:設f在內有定義,若,則稱f在點右(左)連續

定理:f在點連續f在既是右連續又是左連續

定義:設f在內有定義,若f在點無定義,或f在點有定義而不連續,則稱點為f的間斷點或不連續點

1.f在點無定義或不存在

2.f在點有定義且存在,但

1.可去間斷點

若,而f在點無定義,或有定義但,則稱為f的可去間斷點

設為函數f的可去間斷點,且,定義一個函數

顯然對于,是它的連續點

2.跳躍間斷點

若f在點的左、右極限都存在,但,則稱點為f的跳躍間斷點

注:可去間斷點和跳躍間斷點統稱為第一類間斷點,第一類間斷點的特點是函數在該點處的左、右極限都存在

3.第二類間斷點

函數的所有其他形式的間斷點,即,使函數至少有一側極限不存在的點

例:Dirichlet函數定義域R上每一點x都是第二類間斷點

定義:若f在區間I上的每一點都連續,則稱f為I上的連續函數

對于閉區間或半開半閉區間的端點,函數在這些點上連續是指左連續或右連續

定義:若f在區間[a,b]上僅有有限個第一類間斷點,則稱f在[a,b]上分段連續

例:證明Riemann函數

在(0,1)內任何無理點處都連續,任何有理點處都不連續

證:

以上就是數學分析定理的全部內容,定理:設函數 和 滿足:1.在 上都連續 2.在 上都可導 3. 和 不同時為零 4.則 ,使得 證明:作輔助函數 顯然 在 上滿足羅爾定理條件 故 。

猜你喜歡

主站蜘蛛池模板: 九九在线中文字幕无码| 亚洲av永久无码嘿嘿嘿| 无码午夜人妻一区二区三区不卡视频 | 无码国产精品一区二区免费虚拟VR| 国产在线无码制服丝袜无码| 白嫩无码人妻丰满熟妇啪啪区百度| 国产精品亚洲专区无码牛牛| 一区二区三区无码高清| 亚欧免费无码aⅴ在线观看| 久久午夜无码鲁丝片| 97无码免费人妻超级碰碰夜夜| 综合无码一区二区三区| 日韩精品无码一区二区中文字幕 | 亚洲中文字幕无码一区二区三区 | 无码国模国产在线无码精品国产自在久国产 | 乱人伦人妻中文字幕无码| 免费无码一区二区| 无码人妻丰满熟妇区五十路百度| 久久久久无码精品国产h动漫| 亚洲精品无码久久久| 久久无码国产专区精品| 亚洲v国产v天堂a无码久久| 久久无码高潮喷水| 中文无码伦av中文字幕| 国产精品无码一二区免费| 无码人妻精品一区二区三区东京热| 亚洲中文久久精品无码1| 国产亚洲3p无码一区二区| 性色av无码不卡中文字幕| 久久人妻无码中文字幕| 亚洲精品无码mv在线观看网站| 久久久久久亚洲精品无码| 无码av高潮喷水无码专区线| 久久精品成人无码观看56| 久久伊人中文无码| 国产在线无码精品无码| 日韩精品无码永久免费网站| 亚洲精品无码av中文字幕| 久久AV无码精品人妻糸列| 久久久久久亚洲AV无码专区| 久久青草亚洲AV无码麻豆|