目錄舉例說明數(shù)學(xué)的抽象性 生活中的數(shù)學(xué)抽象性 數(shù)學(xué)抽象思維 簡單數(shù)學(xué)建模100例 如何理解數(shù)學(xué)抽象
抽象，從字面里面，就是不具體，用數(shù)學(xué)語言來講就是描述的對象是一類具有某種性質(zhì)的事務(wù)，而不是具體的東西。
學(xué)數(shù)學(xué)，抽象的引入對于很多學(xué)生來說都是一道坎，啥叫抽象呢？很多學(xué)數(shù)學(xué)，在中小學(xué)學(xué)的不錯的學(xué)生，到高中學(xué)習(xí)就很容易落下，很容易落下的原因一個是高中做題的拓展性高多了，另外一個很重要的原因就是抽象問題的研究方法沒有學(xué)會或者適應(yīng)。高三我們最早引入抽象概念的就是函數(shù)。初中的時候我們也學(xué)過函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，我們這時候研究他們的定義，圖像，求參數(shù)等等都非常具體，無非是畫圖像求方程，都很簡單，就是算的問題。到了高中，我們對于函數(shù)的定義發(fā)生了180度大轉(zhuǎn)彎。高做頃棚中我們引入了映射的概念，什么一一對應(yīng)，對子對應(yīng)，函數(shù)可以看成是兩個非空數(shù)集的關(guān)系等等。然后給你一個函數(shù)f(x)，也沒給類型，就給你它的定義域，求f(x-1)的定義域等等，很多學(xué)生在這里不能理解的時候就越積越多，越學(xué)越學(xué)不進去了。純則
作為高中數(shù)學(xué)老師，我始終認為抽象函數(shù)學(xué)習(xí)是高中學(xué)習(xí)的第一道門檻，這道坎過乎基去了的，數(shù)學(xué)很少學(xué)不好的，相反這道坎過去了，后面數(shù)學(xué)學(xué)起來就越來越有味，越來越能投入了。
其實高中數(shù)學(xué)之所以說抽象，主要是針對函數(shù)來說的。希望以上能幫助你。
哈哈！你的問題不少啊！文字就是抽象的！什么是抽象：事物信息化，由信息化作為基礎(chǔ)得出事物形象的唯一，這個過程以及人類的此類意識行為為抽象。
“抽”，從田地范疇內(nèi)取樣，這個取樣可能是隨機的，也可能是條件的，按照宿命論，那是唯一的。
“象”，這里的象，應(yīng)當是意識形態(tài)中的“相”，是可以沒有具體形狀意識把握的“相”，不過人們已經(jīng)形成了這種直觀的組合，用大象
數(shù)學(xué)抽象方法是一種科學(xué)抽象方法。它是從考慮的問題出發(fā)，通過對各種經(jīng)驗事實的觀察、分析、綜合和比較，在人們的思維中撇開衫悉事物現(xiàn)象的、外部的、偶然的東西，抽出事物本質(zhì)的、內(nèi)洞侍在的、必然的東西，從空間形式和數(shù)量關(guān)系上揭示客觀對象的本質(zhì)和規(guī)律。
或者在已有數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，抽出其某一種屬性作為新的數(shù)學(xué)對象，以此達到認識事物本質(zhì)和規(guī)律的目的的一種數(shù)學(xué)研究方法。例如，幾何中的“點”的概念是從現(xiàn)實世界中的水點、雨點、起點、終點等具體事物中抽象出來的，它舍棄了事物或顫乎的各種物理、化學(xué)等性質(zhì)，不考慮其大小、僅僅保留其表示位置的性質(zhì)。
數(shù)學(xué)抽象的四種形式：
1、實物層面的抽象
這個層面的抽象，實際上是立足于已有的生活經(jīng)驗和社會現(xiàn)實，進行第一步抽象，即以實物為對象進行抽象，到剛剛超越實物而尚未完全脫離實物即結(jié)束。例如：在七年級上冊《有理數(shù)的乘方》這一節(jié)中，用文字和圖片一起呈現(xiàn)出細胞分裂的過程，細胞每過30min便由1個分裂成2個，經(jīng)過5h，這種細胞由1個能分裂成多少個？從這樣一個有趣的過程中抽象出數(shù)學(xué)問題，能夠很快的激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在七年級上冊《豐富的圖形世界》這一節(jié)中，教科書提供了幾幅圖片，引導(dǎo)學(xué)生感受圖形世界的多姿多彩，并且通過給出各種實物模型，讓學(xué)生認識圓柱、圓錐、正方體、長方體和球這五種幾何體。在八年級下冊《圖形的旋轉(zhuǎn)》中，呈現(xiàn)出一幅旋轉(zhuǎn)的摩天輪，瞬間把學(xué)生帶入旋轉(zhuǎn)的情境中去感受旋轉(zhuǎn)，繼而思考什么樣的圖形運動可以稱之為圖形的旋轉(zhuǎn)。這些都是典型的借助“實物”的直接抽象。在這些過程中，通過設(shè)計好的情境，加上教師的有意引導(dǎo)，學(xué)生在仔細觀察圖片中物體的基礎(chǔ)上，思考有理數(shù)的乘方、幾何體、圖形的內(nèi)在陸咐本質(zhì)屬性，形成自己對這些知識的初步認識。
2、半符號層面的抽象
這個階段實際上是簡約階段的一種，是建立在實物抽象的基礎(chǔ)之上的進一步發(fā)展。此時，有關(guān)的屬性已經(jīng)從實物中提取出來、抽象出來，但是并沒有完全脫離實物，或者更確切的說，是部分屬性脫離了實物，而其中的關(guān)鍵屬性已經(jīng)初見端倪。例如：在七年級下冊《單項式乘多項式》這一節(jié)中，教科書要求在一幅長x米寬mx米的畫左右兩邊各留1/8x米的空白，求畫的面積是多少？接著展示了兩種算法，通過對同一面積的不同表達，可以得到: x(mx-1/4x)=mx2-1/4x2此時單項式乘多項式的有關(guān)屬性已經(jīng)呈現(xiàn)出來。在《圖形的全等》這一節(jié)中，在學(xué)生已經(jīng)了解了什么是全等圖形之后，教科書呈現(xiàn)出多個形態(tài)各異的圖形，要求學(xué)生從中找出全等圖形，這也是實物直觀層面的第二次抽象。在這個過程中，全等圖形是能夠完全重合的圖形這一關(guān)鍵屬性已經(jīng)凸顯出來，學(xué)生要做的便是依據(jù)全等圖形的概念來找出能夠完全重合的圖形。
3、符號層面的抽象
這個層面的抽象屬于數(shù)學(xué)抽象的符號階段，具有典型的階段性、層次性。準確的說，符號層面的抽象已經(jīng)去掉了具體的內(nèi)容，利用概念、圖形、符號、關(guān)系表述包括已經(jīng)簡約化了的事物在內(nèi)的一類事物。例如：在七年級上冊《合并同類項》這一節(jié)中，觀察四組代數(shù)式，找出它們的共同特點，然后總結(jié)出同類項的概念，并進而得到合并同類項法則。在這個過程中，學(xué)生在觀察代數(shù)式和探索合并同類項及其合并同類項法則的同時，嘗試著用文字去表述自己的發(fā)現(xiàn)，這就是在進行符號層面的抽象。在八年級上冊《勾股定理》的教學(xué)上，首先通過探索活動讓學(xué)生們初步感受直角三角形三邊長之間的特殊關(guān)系，接著引導(dǎo)學(xué)生用語言準確表述這樣一種特殊關(guān)系，最后賦予直角三角形三邊以符號表示，并用符號語言來描述出勾股定理。這樣一種禮儀概念、圖形、符號表述一類事物的方式就是典型的符號層面的抽象。在這個過程中，學(xué)生首先要通過觀察“郵票”這一實物對研究勾股定理的這個基本圖形形成一個直觀認識，在經(jīng)歷分析、猜想、嘗試等過程探求兩個小直角三角形面積與大直角三角形面積之間的數(shù)量關(guān)系的方法，最后通過分析、推理得到直角三角形三條邊長之間的特殊關(guān)系。這樣一個過程能夠讓學(xué)生在經(jīng)歷勾股定理的探索過程后，更深刻的認識、理解這個定理。在九年級上冊《相似多邊形》這一節(jié)總，在學(xué)生已對相似圖形有了最初的直觀感受后，通過觀察、分析五組形態(tài)各異的圖形的內(nèi)在共同特征，總結(jié)歸納出相似圖形的定義，早歲純學(xué)生從初步認識相似圖形，到深入了解相似圖形，這整個過程都參與其中，十分有利于學(xué)生對相似圖形的全面理解。
4、形式化層面的抽象
這個層面的抽象屬于數(shù)學(xué)抽象的普適階段，即通過假設(shè)和推理建立法則、模式雀洞或者模型，并能夠在一般意義上解釋具體事物。這個階段的抽象在中小學(xué)也是時常存在的。例如：在七年級下冊《二元一次方程組》這一節(jié)中，基于上一節(jié)《二元一次方程》已經(jīng)完成了從“一元”到“二元”、新的數(shù)學(xué)模型的建立，該節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)主要集中在類似于“雞兔同籠”問題的解決上。建立模型后，將模型運用到一般問題的解決上，這一過程是典型的形式化抽象。再比如說，在九年級下冊圓周角定理的呈現(xiàn)上，通過猜想、推理得到圓周角與圓心角之間的半倍關(guān)系，繼而引導(dǎo)學(xué)生運用這一關(guān)系去解決一些具體的問題。在這一過程中，學(xué)生首先要形成對圓周角概念的認識，再在測量同一圓的圓心角和圓周角度數(shù)的基礎(chǔ)上，大膽猜想圓心角與圓周角的數(shù)量關(guān)系，接著在教師的引導(dǎo)下逐步形成證明這一關(guān)系的思想和方法，最后能夠?qū)⑦@一定理熟練地運用到解決實際問題當中。在九年級上冊《相似三角形的性質(zhì)》這一節(jié)中，通過深入分析探索得到證明相似三角形、相似多邊形的周長比的方法，繼而引導(dǎo)學(xué)生運用所得方法去嘗試解決相似三角形、相似多邊形的面積比、高比等，在這個過程中，學(xué)生不僅學(xué)到解決問題的方法，還知道了將習(xí)得的方法用在其他問題的解決上，符合新課標提出的重視“過程與方法”的目標。
總體來看，現(xiàn)行初中教材中情境中采用最多的是實物層面的抽象，正文中采用最多的是符號層面的抽象，練習(xí)中采用最多的是實物半符號層面的抽象，數(shù)學(xué)活動中最多采用的是形式化層面的抽象。
抽象就是把事物變得可以被理解和敘述
信息→抽象→知識
比如最早的關(guān)于算數(shù)的誕生，在麥子，牛群，遠近，日子中抽象出了堆，群，距離，日等單位。再在基礎(chǔ)上總結(jié)出了抽象的'計數(shù)'。通過繩結(jié)和算數(shù)符號敘述。在此基礎(chǔ)上，脫離具體單位的'數(shù)'可以被理解: 一萬群馬，五千年這樣，完全沒見過的東西枯戚，也可被古人理解，創(chuàng)造。
語語言本身就是抽象的結(jié)果。
數(shù)學(xué)中的抽象，要求更嚴格一些。嚴謹些說：是符合二階邏輯體系的語言。相當于加了些約束：要求良好定義，有邏輯量詞，可以演繹，遞歸之類。
幾個答案里的例子：
@Yuhang Liu 半單李代數(shù)都是單李代數(shù)的直和
這是一個數(shù)學(xué)抽象，可以通過ZFC這樣的公理判斷他是真的。當然做到這一點很不容易，嚴格數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)花了幾代人的時間。
@匿名用戶 遺傳信息不能由蛋白質(zhì)轉(zhuǎn)移到蛋白質(zhì)或核酸之中
這是一個滑敗基抽象，但不是數(shù)學(xué)抽象信謹。它的真假并不能通過邏輯演繹得出，是要靠大量的實驗保證的。
同樣，不是句子里有一堆數(shù)學(xué)名詞，就是屬于數(shù)學(xué)抽象了。在很多書里會看到很多“感覺”：
“代數(shù)就是坐標化”
“示性類描述的是整體的性質(zhì)”
“量子物理對應(yīng)非交換幾何”
這些也是一種抽象，有些是很有意義的洞察。但是應(yīng)該不是嚴格意義上的數(shù)學(xué)抽象：
“域的有限擴張構(gòu)成一個群”
“在Abel范疇上都可以做同調(diào)代數(shù)”
能把“感覺”和“洞察”描述成真正的數(shù)學(xué)理論，應(yīng)該是一種基礎(chǔ)能力吧。
感覺類似的可以更具相關(guān)學(xué)科的范疇和語境，定義“物理抽象”，“化學(xué)抽象”，“計算抽象”，“生物抽象”之類吧。
為了發(fā)揮標準數(shù)字、加號、括號及其他符號的優(yōu)勢，人們經(jīng)常把文字敘述寫成用橋念一系列符號表示的形式體系。但是，那時這些符號并不是數(shù)學(xué)的一個必要特征。雖然文字敘述同樣被用來表示李子、香蕉、蘋果和橘子，然而那時候，數(shù)學(xué)敘述(由任意符號構(gòu)成)越來越明顯地成為數(shù)學(xué)的一種單純的精確的結(jié)構(gòu)模式。很快，少數(shù)幾個有遠見的人物開始懂得了數(shù)學(xué)敘述的特點，哥德爾即是他們中的佼佼者，這種看待事物的方式打開了數(shù)學(xué)的一個新的分支學(xué)科——抽象數(shù)學(xué)。常用的數(shù)學(xué)分析方法是與抽象數(shù)學(xué)的模仿一粗陵萌芽階段相聯(lián)系的，這一階段形成了形式體系的本質(zhì)——數(shù)學(xué)本身被假設(shè)為抽象數(shù)學(xué)的原始樣本。這樣數(shù)學(xué)就像一條自食的蛇一樣又扭過頭來盤住了自己。哥德爾表明，怪異的結(jié)論恰恰敏凳困來自用數(shù)學(xué)透鏡觀看數(shù)學(xué)本身時的聚焦過程。理解這一結(jié)論的方法之一就是想象在一顆遙遠的行星上(比如說火星)，所有用于寫傳奇作品的符號碰巧是我們平時用的0～9的阿拉伯數(shù)字。這樣，火星人將會在他們教科書中討論一個著名的發(fā)現(xiàn)，他們會發(fā)現(xiàn)地球上的我們與歐幾里德有關(guān)，而同時我們會說：“他們的作，”他們寫的東西則像這樣：“8445329844508787866873070005766619463864545067111。”對我們來說它像一個46位的數(shù)字。而對火星人來說，它根本不是數(shù)字，而是一句陳述語。的確，對他們來說，他們寫的這些素數(shù)代表著34個字母，6個單詞和幾行話，就像我和你應(yīng)用英文字母一樣。現(xiàn)在讓我們來想象著討論一下所有的數(shù)學(xué)定理之間存在的普遍屬性。
