全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題？一、選擇題(每小題6分, 共36分)?cos α??cos β?1．設(shè)函數(shù) f (x ) = sin β??+ sin α?， α、β為銳角，如果對(duì)任意x ＞0，那么，全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題？一起來(lái)了解一下吧。
2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試試題及參考答案 (考試時(shí)間：120分鐘滿分150分)一、(本題滿分50分)如圖，在銳角△ABC中，AB A. B. C. D. 2. 空間四點(diǎn)A、B、C、D，滿足 、 、 、 ，則 的取值 A. 只有一個(gè) B. 有兩個(gè) C. 有四個(gè) 1. 使關(guān)于x的不等式 有解的實(shí)數(shù)k的最大值是 D. 有無(wú)窮多個(gè) 3. △ABC內(nèi)接于單位圓，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的平分線交此圓于A1、B1、C1三點(diǎn)，則 的值是 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 如圖，ABCD－A'B'C'D'為正方體，任作平面α與對(duì)角線AC'垂直，使α與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長(zhǎng)為l，則 A. S是定值，l不是定值 B. S不是定值，l是定值 C. S、l均是定值 D. S、l均不是定值 5. 方程 表示的曲線是 A. 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 B. 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 C. 焦點(diǎn)在y軸上的激叢橢圓 D. 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線 6. 記集合 ， ，將M中的元素按從明弊櫻大到小順序排列，則第2005個(gè)數(shù)是 A. B. C. D. 二、填空題 7. 將多項(xiàng)式 表示為關(guān)于y的多項(xiàng)式 ，卜逗且 ，則 =__________。 8. f(x)是定義在(0,+∞)上的減函數(shù)，若 成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________。 2004年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 2004年南昌市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 2004年福建省高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 2004年湖南省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 2004年江西省高中女子數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 2004年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林賽區(qū)初賽試題 2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西初賽試題 2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川省初賽試題 2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南省預(yù)賽試題 2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津初賽試題 2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽試題 2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東賽區(qū)預(yù)賽試題 2004年安徽省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題 首屆中國(guó)東鍵攜南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克試題 第三屆中國(guó)女子數(shù)學(xué)奧林匹克試題 第四屆中國(guó)西部數(shù)學(xué)奧林匹克試題 2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 2004年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克試題 2004年中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)測(cè)試試題 2004年IMO中國(guó)國(guó)家隊(duì)選拔考試試題 2005北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（高一年級(jí)） 2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津賽區(qū)初賽試題 2005年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題 2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江省預(yù)賽試題 2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題 2005年湖南省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（高二年級(jí)） 2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林賽區(qū)預(yù)賽試題 2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東賽區(qū)預(yù)賽試題 2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川初賽試題 2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽薯神試題 2005年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克協(xié)作體夏令營(yíng)測(cè)試試題 2005年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克協(xié)作體夏令營(yíng)A水平測(cè)試題 2005年南昌市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 2005年福建省高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 2005年全數(shù)亮虧國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽遼寧賽區(qū)初賽試題 2005年河南省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（高二年級(jí)） 2005年安徽省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題 第二屆中國(guó)東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克試題 第五屆中國(guó)西部數(shù)學(xué)奧林匹克試題 第四屆中國(guó)女子數(shù)學(xué)奧林匹克試題 2005年北方數(shù)學(xué)奧林匹克試題 2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題 2005年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克試題 2005年國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)測(cè)試題 2005年IMO中國(guó)國(guó)家隊(duì)選拔考試試題 高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽學(xué)的知識(shí)范圍有平面幾何、代數(shù)、初等數(shù)論、組合問(wèn)題。 一、考試內(nèi)容如下： （友巧頃全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試）所涉及的知識(shí)范圍不超出教育部2000年《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》。此外，全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（二試）在知識(shí)方面有所擴(kuò)展，適當(dāng)增加一些教學(xué)大綱之外的內(nèi)容。 二、考試知識(shí)點(diǎn)解析： 1、平面幾何 幾個(gè)重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；三角形旁心、費(fèi)馬點(diǎn)、歐拉線；幾何不等式；幾何極值問(wèn)題；幾何中的變換：對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)；圓的冪和根軸：面積方法，復(fù)數(shù)方法，向量方法，解析幾何方法 2、代數(shù) 周期函數(shù)，帶絕對(duì)值的函數(shù)；三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函數(shù)；遞歸，遞歸數(shù)列及其性質(zhì)，一階、二階線性常系數(shù)遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式；第二數(shù)學(xué)歸納法；平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函數(shù)及其應(yīng)用；復(fù)數(shù)及其指數(shù)形式、三角形式，歐拉公式，棣莫弗定理，單位根；多項(xiàng)式的除法定理、因式分解定理，多項(xiàng)式的相等，整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根*，多項(xiàng)式的插值公式*；n次多項(xiàng)式根的個(gè)數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理；函數(shù)迭代，求n次迭代*，簡(jiǎn)單的函數(shù)方程*。 2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽 試題 一、填空題（每小題10分，共 分） 、 是這樣的一個(gè)四位數(shù)，它的各位數(shù)字之和為 ；像這樣各位數(shù)字之和為 的四位數(shù)總共有 個(gè)． 、設(shè)數(shù)列 滿足: ,且對(duì)于其中任三個(gè)連續(xù)項(xiàng) ,都有: .則通項(xiàng) ． 、以拋物線 上的一點(diǎn) 為直角頂點(diǎn)，作拋物線的兩個(gè)內(nèi)接直角三角形 與 ，則線段 與 的交點(diǎn) 的坐標(biāo)為． 、設(shè) ，則函數(shù) 的最大值是 ． 、 ． 、正三棱錐 的底面邊長(zhǎng)為 ，側(cè)棱長(zhǎng)為 ，過(guò)點(diǎn) 作與側(cè)棱 都相交的截面 ，那么， 周長(zhǎng)的最小值是 ． 、滿足 的一組正整數(shù)． 、用 表示正整數(shù) 的各位數(shù)字之和，則． 二、解答題（共 題，合計(jì) 分） 、（20分）、設(shè) ，且滿足： ，求 的值． 、（ 分）如圖， 的內(nèi)心為 ， 分別是 的中點(diǎn)， ，內(nèi)切圓 分別與邊 相切于 ；證明禪轎： 三線共點(diǎn)． 、（ 分）在電腦屏幕上給出一個(gè)正 邊形，它的頂點(diǎn)分別被涂成黑、白兩色；某程序執(zhí)行這樣的操作：每次可選中多邊形連續(xù)的 個(gè)頂點(diǎn)（其中 是小于 的一個(gè)固定的正整數(shù)），一按鼠標(biāo)鍵，將會(huì)使這 個(gè)頂點(diǎn)“黑白顛倒”，即黑點(diǎn)變白，而白點(diǎn)變黑； 、證明：如果 為奇數(shù)，則可以經(jīng)過(guò)有限次這樣的操作，使得所有頂點(diǎn)都變成白色，也可以經(jīng)過(guò)有限次這樣的操作，使得所有頂點(diǎn)都變成黑色； 、當(dāng) 為偶裂襲鍵數(shù)時(shí)，是否也能經(jīng)過(guò)有限次這樣的操作，使得所有的頂點(diǎn)都變成一色？證明你的結(jié)論． 解答 、 ．提示：這種四位數(shù) 的個(gè)數(shù)，就是不定方程 滿足條件 ， 的整解的個(gè)數(shù)；即 的非負(fù)整解個(gè)數(shù)，其中 ，易知這種解有 個(gè)，即總共有 個(gè)這樣的四位數(shù)．（注：也可直接列舉．） 、 ． 提示：由條件得， ， 所以 ， 故 ，而 ； ； 于是 ； 由此得 . 、 ．提示：設(shè) ，則 ， 直線 方程為 ， 即 ，因?yàn)?，則 ， 即 ， 代人方程得 ， 于是點(diǎn) 在直線 上； 同理，若設(shè) ，則 方程為 ， 即點(diǎn) 也在直線 上，因此交點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ． 、 ．提示：由 所以， ， 即 ， 當(dāng) ，即 時(shí)取得等號(hào)． 、 ．提示： ． 、 ．提示：作三棱錐側(cè)面展開(kāi)圖，易知 ∥ ，且由周長(zhǎng)最小，得 共線，于是等腰 ， ， ， 即 ， ， ， 所以 ，由 ，則 ． 、 ．提示：由于 是 形狀的數(shù)，所以 必為奇數(shù)，而 為偶數(shù)， 設(shè) ， ，代人得 ， 即 . ① 而 為偶數(shù)，則 為奇數(shù)，設(shè) ，則 ， 由①得， ， ② 則 為奇數(shù)，且 中恰有一個(gè)是 的倍數(shù)，當(dāng) ，為使 為奇數(shù)，且 ，只有 ，②成為 ， 即 ，于是 ； 若 ，為使 為奇數(shù)，且 ，只有 ，②成為 ，即 ，它無(wú)整解； 于是 是唯一解： ． （另外，也可由 為偶數(shù)肆巧出發(fā)，使 為 的倍數(shù)，那么 是 的倍數(shù)，故 是 形狀的偶數(shù)，依次取 ，檢驗(yàn)相應(yīng)的六個(gè)數(shù)即可．） 、 ．提示：添加自然數(shù) ，這樣并不改變問(wèn)題性質(zhì)；先考慮由 到 這一千個(gè)數(shù)，將它們?nèi)坑萌粩?shù)表示，得到集 ，易知對(duì)于每個(gè) ，首位為 的“三位數(shù)”恰有 個(gè)： ， 這樣，所有三位數(shù)的首位數(shù)字和為 . 再將 中的每個(gè)數(shù) 的前兩位數(shù)字互換，成為 ，得到的一千個(gè)數(shù)的集合仍是 ， 又將 中的每個(gè)數(shù) 的首末兩位數(shù)字互換，成為 ，得到的一千個(gè)數(shù)的集合也是 ，由此知 ． 今考慮四位數(shù)：在 中，首位（千位）上，共有一千個(gè) ，而在 中，首位（千位）上，共有一千個(gè) ，因此 ； 其次，易算出， . 所以， ． 、由 ， 即 ， 平方得 所以 ， 即 ， 所以 ． 、如圖，設(shè) 交于點(diǎn) ，連 ，由于中位線 ∥ ，以及 平分 ，則 ，所以 ，因 ，得 共圓．所以 ；又注意 是 的內(nèi)心，則 . 連 ，在 中，由于切線 ，所以 ， 因此 三點(diǎn)共線，即有 三線共點(diǎn)． 、 證明：由于 為質(zhì)數(shù)，而 ，則 ，據(jù)裴蜀定理，存在正整數(shù) ，使 , ① 于是當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，則①中的 一奇一偶． 如果 為偶數(shù)， 為奇數(shù)，則將①改寫(xiě)成： ， 令 ，上式成為 ，其中 為奇數(shù)， 為偶數(shù)． 總之存在奇數(shù) 和偶數(shù) ，使①式成立；據(jù)①， ,② 現(xiàn)進(jìn)行這樣的操作：選取一個(gè)點(diǎn) ，自 開(kāi)始，按順時(shí)針?lè)较虿僮?個(gè)頂點(diǎn)，再順時(shí)針?lè)较虿僮鹘酉聛?lái)的 個(gè)頂點(diǎn)……當(dāng)這樣的操作進(jìn)行 次后，據(jù)②知，點(diǎn) 的顏色被改變了奇數(shù)次（ 次），從而改變了顏色，而其余所有頂點(diǎn)都改變了偶數(shù)次（ 次）狀態(tài)，其顏色不變；稱這樣的 次操作為“一輪操作”，由于每一輪操作恰好只改變一個(gè)點(diǎn)的顏色，因此，可以經(jīng)過(guò)有限多輪這樣的操作，使所有黑點(diǎn)都變成白點(diǎn)，從而多邊形所有頂點(diǎn)都成為白色；也可以經(jīng)過(guò)有限多輪這樣的操作，使所有白點(diǎn)都變成黑點(diǎn)，從而多邊形所有頂點(diǎn)都成為黑色． 、當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，也可以經(jīng)過(guò)有限多次這樣的操作，使得多邊形所有頂點(diǎn)都變成一色．具體說(shuō)來(lái)，我們將有如下結(jié)論： 如果給定的正多邊形開(kāi)初有奇數(shù)個(gè)黑點(diǎn)、偶數(shù)個(gè)白點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)有限次操作，可以將多邊形所有頂點(diǎn)變成全黑，而不能變成全白；反之，如果給定的正多邊形開(kāi)初有奇數(shù)個(gè)白點(diǎn)、偶數(shù)個(gè)黑點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)有限次操作，可以將多邊形所有頂點(diǎn)變成全白，而不能變成全黑； 為此，采用賦值法：將白點(diǎn)改記為“ ”，而黑點(diǎn)記為“ ”，改變一次顏色，相當(dāng)于將其賦值乘以 ，而改變 個(gè)點(diǎn)的顏色，即相當(dāng)于乘了 個(gè)（偶數(shù)個(gè)） ，由于 ； 因此當(dāng)多邊形所有頂點(diǎn)賦值之積為 ，即總共有奇數(shù)個(gè)黑點(diǎn)，偶數(shù)個(gè)白點(diǎn)時(shí)，每次操作后，其賦值之積仍為 ，因此無(wú)論操作多少次，都不能將全部頂點(diǎn)變白． 但此時(shí)可以變成全黑，這是由于，對(duì)于偶數(shù) ，則①②中的 為奇數(shù)，設(shè) 是多邊形的兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)，自點(diǎn) 開(kāi)始，按順時(shí)針?lè)较虿僮?個(gè)頂點(diǎn)，再順時(shí)針?lè)较虿僮鹘酉聛?lái)的 個(gè)頂點(diǎn)……當(dāng)這樣的操作進(jìn)行 次后，據(jù)②知，點(diǎn) 的顏色被改變了偶數(shù)次（ 次），從而顏色不變，而其余所有 個(gè)頂點(diǎn)都改變了奇數(shù)次（ 次）狀態(tài)，即都改變了顏色；再自點(diǎn) 開(kāi)始，按同樣的方法操作 次后，點(diǎn) 的顏色不變，其余所有 個(gè)頂點(diǎn)都改變了顏色；于是，經(jīng)過(guò)上述 次操作后，多邊形恰有 兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)都改變了顏色，其余所有 個(gè)點(diǎn)的顏色不變． 現(xiàn)將這樣的 次操作合并，稱為“一輪操作”；每一輪操作，可以使黑白相鄰的兩點(diǎn)顏色互換，因此經(jīng)過(guò)有限輪操作，總可使同色的點(diǎn)成為多邊形的連續(xù)頂點(diǎn)； 于是當(dāng)多邊形開(kāi)初總共有偶數(shù)個(gè)白點(diǎn)時(shí)，每一輪操作又可將相鄰兩個(gè)白點(diǎn)變成黑點(diǎn)，使得有限輪操作后，多邊形所有頂點(diǎn)都成為黑色． 同理得，如果給定的正多邊形開(kāi)初總共有奇數(shù)個(gè)白點(diǎn)、偶數(shù)個(gè)黑點(diǎn)，經(jīng)過(guò)有限次操作，可以使多邊形頂點(diǎn)變成全白，而不能變成全黑；（只需將黑點(diǎn)賦值為“ ”，白點(diǎn)賦值為“ ”，證法便完全相同）． 以上就是全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的全部?jī)?nèi)容，2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽 試 題 一、填空題（每小題10分，共 分）、 是這樣的一個(gè)四位數(shù)，它的各位數(shù)字之和為 ；像這樣各位數(shù)字之和為 的四位數(shù)總共有 個(gè)．、。數(shù)競(jìng)生能秒殺高考數(shù)學(xué)嗎
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