目錄初中一題多變的數(shù)學題 初中數(shù)學一題多變的經(jīng)典例題 八年級數(shù)學一題多解例題 初中數(shù)學一題多解教案 初三數(shù)學一題多解的經(jīng)典例題
一、強化一題多解，拓寬思維廣度
一題多解，是指在問題解決過程中，鼓勵學生獨立思考，用自己的方法解決 問題，這樣群體中就會出現(xiàn)多種解題方法，而后，在集體中對各種方法進行匯報、 交流。我們不難發(fā)現(xiàn)，在這個學習過程中，通過學生的獨立思考獲得了問題的解 決，鍛煉了學生的自主學習和探究能力，思維得到深化。更重要的是，在各自的 方法交流、匯報過程中，學生對各種方法進行比較、分析、理解，獲得了多種解 題方法，促進了學生從多個角度思考問題，打破原有的思維方式和習慣，拓展了 學生思維的廣度。 在一題多解的教學中，教師要注重選擇素材，便于學生獲得多樣的解題方法。 另外，教師還要最大限度地激發(fā)學生的智力資源，使學生的思維得到最大程度的 拓展。
二、重視一題多變，促進思維的廣度的發(fā)展
一題多變是把題目中的條件或問題進行變化。學生在解決問題過程中，思考 的方向、角度、技巧，根據(jù)條件的發(fā)展變化不斷發(fā)生變化，從多個角度尋找解決 問題的新方向、新方法。 例如：已知一個多邊形的每個內(nèi)角都等于135，求這個多邊形的度數(shù)？ 變式1，已知一個多邊形的內(nèi)角和等于1080，求這個多邊形的度數(shù)？ 變式2，已知一個多邊形的邊數(shù)是8，求這個多邊形的內(nèi)角和？ 變式3，已知一個正多邊形的外角等于45，求這個正多邊形的內(nèi)角和？ 變式4，已知一個多邊形的內(nèi)角與某一個外角的度數(shù)總和等于1180，求這 個多邊形的邊數(shù)？ 通過一題多變，為學生從不同角度去觀察問題、思考問題，用不同方法解決 問題提供了豐富的材料。使學生的思維突破定勢，獲得更廣闊的發(fā)展非常有價值。
三、培養(yǎng)追根溯源的習慣，發(fā)展思維的深度
數(shù)學是一門邏輯性很強的學科。要善于思考，多問“為什么”，才能掌握其 內(nèi)在規(guī)律。多問，古往今來就受到很多先哲的重視。陶行知在詩中說：“何事， 何故，何人，何時，何如，何地，何去，好像弟弟和哥哥，還有一個西洋派，姓 名顛倒叫幾何。若向八賢常請教，雖是笨人不會錯”。著名華裔物理學家李政道 先生在國內(nèi)的多次演講中也提出學習不應是“學答”，而是“學問”，即首先得 “學會問”。 掌握數(shù)學的基本概念、公式和定理等基本知識是學好數(shù)學的基礎(chǔ)，背得爛熟 是沒有多大價值的，要真正理解它們。怎樣才算真正理解它們？不僅要弄懂它們 的內(nèi)涵和外延，還要了解引入的檔州李必要性跡攜以及與其它知識的聯(lián)系等。做題時同樣要 多問“為什么”，不能做完題就了事，還要知道是怎么做的，為什么這樣做，還 可以怎么做，本題的分析方法、解法在其它問題中是否用到過等。只有多問為什 么，才不會停留在知識的表面和膚淺的理解，真正把握知識本質(zhì)，發(fā)展學生的思 維深度。
四、注重知識的性，拓展思維的深度
數(shù)學知識之間有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系，包括各部分知識在各自的發(fā)展過程中的 縱向聯(lián)系和各部分之間的橫向聯(lián)系，善于尋找它們之間的聯(lián)系，有利于學生從系 統(tǒng)的高度思考問題，把握問題的實質(zhì)。例如，在學習圓與圓的位置關(guān)系時，通過 與已經(jīng)學過的點與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系相類比，很容易得到圓與 圓的位置關(guān)系。把知識放在中學習，方便記憶，便于理解。最重要的是，在 把知識進行分類、梳理、綜合、尋找規(guī)律的過程中培養(yǎng)了思維的深刻性。 數(shù)學是一門思維的科學，思維能力是數(shù)學學科能力的核心，又有研究發(fā)現(xiàn)數(shù) 學的思維品質(zhì)以深刻性和廣闊性為基礎(chǔ)，因行遲此，數(shù)學教師在教學過程中利用數(shù)學 知識這一載體，創(chuàng)造機會提高學生的思維能力，打開學生的智慧之門.
你洞穗可以找一本書學習，如《初中幾何解題方跡笑法與分析》----北京教姿顫含育出版社出版，2008年9月第1版
選擇題是初中數(shù)學測試中最常見的題型，屬于客觀題，一般由題干和備選項兩部分組成，且答案唯一。
選擇題具有一定的深度和綜合性，要求同學們要牢固、全面的掌握所學基礎(chǔ)知識，同時具備概括、分析、評價等能力。
1、排除法（篩選法）
從已知條件出發(fā)，結(jié)合選項，通過觀察、分析、猜想、計算等方法一一排除明顯出錯的答案，縮小思考范圍，提高解題的速度。
比如二次函數(shù)和一次函數(shù)圖像的選擇題，逐一排除錯誤選項，從而確定正確的一項。
2、驗證法
把各個選擇項代入原題加以驗證，看是否符合題意，然后得出結(jié)論。比如圖像是否經(jīng)過這點，就可以用驗證的方法帶入題中，得出正確的選項。
3、特殊值法
根據(jù)題設(shè)條件，選取恰當?shù)奶厥鈹?shù)者差喊值，替代題中的字母和數(shù)式，通過計算，得出答案，再類推一般性答案，從而得出正確答案。
比如規(guī)律題，推理結(jié)果時，可以用一些數(shù)值來進行驗證。
★填空題
填空題是初中數(shù)學測試中常見的一種基本題型，突出考查同學們準確、嚴謹、全面、靈活的運用知識進行正確運算的能力。
填空題只要求寫答案，缺少選項提供的目標信息，結(jié)果正確與否難以判斷，一步失誤，全題零分，要想又快又準首野的做好填空題，要在「準、巧、快」三字上下功夫。
1、直接法
直接法是解填空題最基本的方法，它要求同學們直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用定義、定理、性質(zhì)、公式等知識。通過推理和運算等過程，直接得到結(jié)果。
2、數(shù)形結(jié)合法
數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學方法，它要求同學們在解題時，根據(jù)題目條件的具體特點，做出符合題意的圖形，從而做到數(shù)中想形，以形助數(shù)。
通過對圖像的觀察、分析和研究、啟發(fā)解題思路，找出問題的隱含條件，從而簡化解題過程，檢驗解題結(jié)果。
★解答題
解答題是需要寫出解題過程的題型，在中考數(shù)學試題中占相當大的比重，考試的競爭也集中在解答題的得分率上。
解答題涉及的知識點多、覆蓋面廣，綜合性強、跨度大、解法靈活，涉及數(shù)式計算、函數(shù)圖像及性質(zhì)的計算應用等。
解題的關(guān)鍵是從題目的語言敘述中獲取「符號信息」，從題目的圖像、圖形中獲取「形象信息」，靈活應用定義、公式、性質(zhì)、定理進行計算和推理。運用各種數(shù)學思想，構(gòu)建各種數(shù)學模型解決問題。
1、構(gòu)造圖形
復雜的幾何圖形問題，一般需要添加恰當?shù)妮o助線才能順利解決，如連接、延長、做平行、做垂直等，將不規(guī)則、不常見的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則或特殊的圖像求解。
如：構(gòu)造等長線段、三線八角、全等三角形、相似三角形、直角三角形等，從而利用特殊圖形的性質(zhì)和判定解決問題。
2、動靜結(jié)合
在圖形的運動變化過程中，需要認真研究圖形的變化規(guī)律，抓住主動變量與從動變量，動靜結(jié)合，從中探索出它們之間的關(guān)系，利用函數(shù)關(guān)系解決。
數(shù)學重在練習，在實戰(zhàn)中要注重總結(jié)解題技巧和方法。
有時我們做了幾張卷子都在練習一種解題思路和方法，這時需要舉一反三，一題多解。
多解歸一是學習數(shù)學最有效的方法，在探索中和體驗中找到解題的突破點，不至于陷入題海無法自拔，還給自己增添了壓力和負擔。
答題思路
★函數(shù)與方程思想
函數(shù)思想是指運用運動變化的觀點，分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關(guān)系，通過建立函數(shù)關(guān)系運用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。
方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學語言將問題轉(zhuǎn)化為方程或不等式模型去解決問題。
同學們在解題時，可利用轉(zhuǎn)化思想進行函數(shù)與方程間的相互轉(zhuǎn)化。
★特殊與一般的思想
用這種思想解選擇題有時特別有效，因為一個命題在普遍意義上成立時，在其特殊情況下也必然成立，根據(jù)這一點，同學們可以直接確定選擇題中的正確選項。
不僅如此，用這種思想方法去探求主觀題的求解策略，也同樣有用。慶野
★極限思想
極限思想解決問題的一般步驟為：
1、對于所求的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個與它有關(guān)的變量；
2、確認這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量；
3、構(gòu)造函數(shù)（數(shù)列）并利用極限計算法，得出結(jié)果或利用圖形的極限位置直接計算結(jié)果。
★分類討論思想
同學們在解題時常常會遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統(tǒng)一的方法、統(tǒng)一的式子繼續(xù)進行下去。
這是因為被研究的對象包含了多種情況，這就需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合歸納得解，這就是分類討論。
引起分類討論的原因很多，數(shù)學概念本身具有多種情形，數(shù)學運算法則、某些定理、公式的限制，圖形位置的不確定性，變化等均可能引起分類討論。
建議同學們在分類討論解題時，要做到標準統(tǒng)一
數(shù)學幾何題的常見解題切入點：
第一：構(gòu)造定理所需的圖形或基本圖形在解決問題的過程中，有時添加輔助線是必不可少的。對于北京中考來說，只有一道很簡單的證明題是可以不用添加輔助線的，其敬裂余的全都涉及到輔助線的添加問題。中考對學生添線的要求還是挺高的，但添輔助線幾乎都遵循這樣一個原則：構(gòu)造定理所需的圖形或構(gòu)造一些常見的基本圖形。
第二：做不出、找相似，有相似、用相似
壓軸題牽涉到的知識點較多，知識轉(zhuǎn)化的難度較高。學生往往不知道該怎樣入手，這時往往應根據(jù)題意去尋找相似三角形。
第三：緊扣不變量，并善于使用前題所采用的方法或結(jié)論
在圖形運動變化時，圖形的位置、大小亮鄭閉、方向可能都有所改變，但在此過程中，往往有某兩條線段，或某兩個角或某兩個三角形所對應的位置或數(shù)量關(guān)系不發(fā)生改變。
第四：在題目中尋找多解的信息
例如：1.已知一個三角形的兩個角是30°和45°，一邊上的高是20米，求這個三角形的面積
2.矩形ABCD的邊AB=2,BC=4,P為矩形ABCD邊上一點，連接叢宏AP，若直線AP，BD交點為M，若三角形PAB為等腰三角形，則AM的長為多少？
如何在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的問題意識，培養(yǎng)學生主動提問題的能力至關(guān)重要，它是培養(yǎng)創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)，也是每一位教師都握巖局值得探討的課題。筆者對此淺談如下自己的看法：一、加強對問題意識及其培養(yǎng)的認識所謂“問題意識”是指問題成為學生感知和思維的對象，從而在學生心里造成一種懸而未解決但有必須解決的求知狀態(tài)。沒有強烈的問題意識，就不可能激發(fā)學生認識的沖動性和思維的活躍性，更不可能激發(fā)學生的求異思維和創(chuàng)造思維。數(shù)學問題意識是基于問題意識概念的基礎(chǔ)上提出的，它以質(zhì)疑為內(nèi)核，以發(fā)表不同意見為表現(xiàn)形式。是指教師把學生引入情境所隱含的“數(shù)學問題”中，使學生知覺到現(xiàn)有條件和目標實現(xiàn)之間需要解決的矛盾、疑難等，從而產(chǎn)生的一種懷疑、困感、焦慮的心理狀態(tài)。這種心理狀態(tài)又驅(qū)使個體積極思維，不斷提出問題，解決問題，形成自己的見解。學生問題意識培養(yǎng)是學生通過觀察、體驗發(fā)現(xiàn)問題、形成問題意識，并形成探索的理念，在教師引導、幫助激勵下找到解決問題的方法，并形成學會學習的一種方法。學生的問題意識培養(yǎng)：應從改變學生的學習方式入手，以問題為主線，變被動地學習為主動地學，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，使學生思維向敏捷性、創(chuàng)造性、獨立性和批判性發(fā)展，為學生的終身學習奠定基礎(chǔ)。二、培養(yǎng)學生的問題意識的原則1、導向性原則學生問題意識的培養(yǎng)首先要在現(xiàn)代教育理論和先進的教育教學、現(xiàn)代管理理論的指導下進行，緊緊把握培養(yǎng)的方向。在創(chuàng)新學習課堂中則體現(xiàn)“以教為主導、學為主體、疑為主軸、動為主線”的教學原則。注重教給學生學習方法，把棗皮培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力放在學校、教師的重要位置，為學生形成終身學習能力奠定良好的基礎(chǔ)2、科學性的原則問題意識培養(yǎng)從培養(yǎng)的方法和技巧上都力求科學合理，項目的分類具體簡明，易于操作。3、交流反饋原則要使實驗取得成功，富有實效，最根本的方法是暢通實驗的信息渠道，實驗中的要求應及時貫徹，實驗中碰到的具體問題應及時解決。因此，實驗中，要創(chuàng)設(shè)機會，多途徑交流反饋，使實驗始終在互動中實施。三、培養(yǎng)學生的問題意識的策略1、營造和諧的學習環(huán)境要培養(yǎng)學生的問題意識，首先要破除這種“習慣”和“成見”，營造寬松、自由的教學氛圍，建立平等、民主的師生關(guān)系，鼓動學生大膽質(zhì)疑、提問，鼓勵學生求新求異；其次，要保護學生的好奇心，正確對待學生的提問。不譏諷、不嘲弄，挖掘其可貴之處。特別要鼓勵學生自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。青少年學生好奇心強，求知欲旺盛，這正是問題意識的表現(xiàn)，教師要充分愛護和尊重學生的問題意識。作為教師，作為學生學習的促進者，應積極地看，認真地聽，設(shè)身處地的感受學生的所作所為，所思段讓所想，積極鼓勵學生質(zhì)疑問題，允許出錯，允許改正，允許保留意見，對學生提出的一些意想不到的“高見”，要及時采納并給予充分肯定。有了這樣適宜的環(huán)境，學生的問題意識就可以獲得充分發(fā)揮和顯示，各種奇思異想，獨立見解就會層出不窮。2、激發(fā)學生的提問興趣興趣是學習的最佳動力。心理學認為，內(nèi)發(fā)的動機是很重要的，而內(nèi)發(fā)性的動機的中心是興趣。如果教師提出的問題能夠較好的創(chuàng)設(shè)條件培養(yǎng)和激發(fā)學生的學習動機和興趣，增強學生參與學習活動的欲望，他們就有了學習的原動力。因此，教師必須從教材和學生心理特點出發(fā)，引人入勝地、步步深入地提出富有趣味性、啟發(fā)性的問題，用科學的、藝術(shù)的、生動的語言吸引學生去積極思考、作答。3、教學中滲透質(zhì)疑方法和技巧的指導葉瀾教授指出：課堂教學是一個師生間積極互動的過程。作為學生學習的促進者，課堂教學中，教師應積極地看，積極地聽，設(shè)身處地地感受學生的所作所為、所思所想，積極鼓勵學生質(zhì)疑問難，允許出錯，允許改正，允許保留意見。對學生提出的一些意想不到的“高見”，要及時采納并給予充分肯定。因此本課題研究的關(guān)鍵是滲透質(zhì)疑的方法和技巧的指導，鼓勵學生自由地進行逆向思維、求異思維、發(fā)散思維，大膽懷疑，大膽想象，大膽創(chuàng)新，并能對某些帶有共性的看法或結(jié)論質(zhì)疑，得出自己的結(jié)論。4、引入競爭機制，合理評價在學生學習過程中，教師充分發(fā)揮評價的激勵和導向功能，運用有聲語言、無聲語言通過即時性評價激趣，鼓勵學生表達自己的意見，能讓學生享受成功的喜悅，建立自信，可以使學生的問題意識得以不斷增強。教師在教學中不論學生提的問題質(zhì)量如何，都應給予鼓勵，做出有利于學生思維發(fā)展的評價，這是提高學生對問題探究興趣的有效手段。如當教師引導學生進行探索學習過程中，由于學生能力的差異，有的學生所提的問題會偏離教學的軸心，有的問題可能十分幼稚和膚淺。教師對此不能輕易“亮黃牌”，應既給予肯定表揚，又要適當指出問題的所在，這樣既不打擊學生積極性，又能把學生的思維引導到所要探索的問題上來，培養(yǎng)學生正確的思維方法，消除學生的“問題”心理障礙，增強學生提出問題的信心和勇氣。學生有時會提出許多新奇的問題和好的解法，教師應該及時給予十分到位的表揚鼓勵，甚至以學生本人的名字去命名他的發(fā)現(xiàn)成果。對學生閃出的這些創(chuàng)造性思維的火花的及時捕捉，及時展示，會激勵他們不斷地再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)另外要使學生逐步提高提問的質(zhì)量，教師還要注意適時總結(jié)，引導學生評價。對學生的提問教師要表現(xiàn)出極大熱情，不能置之不理或做簡單的結(jié)論性回答，滲透給學生問就比不問強，要經(jīng)常表揚敢于提問的學生。其次，建立提問記錄冊。在學生小組的評價中，組長專門有一項是記錄組員的提問情況，每個學生記錄自己提問的問題與次數(shù)，與學期的評定掛鉤。
