目錄中國數(shù)學(xué)發(fā)展史 概括 數(shù)學(xué)發(fā)展史時間軸 高中數(shù)學(xué)趣味活動方案 高中趣味數(shù)學(xué)題50道 我國古代數(shù)學(xué)偉大成就
十六世紀(jì)末開始，西方傳教士開始到中國活動，由于明清王朝制定天文歷法的需要，傳教士開始將與天文歷算有關(guān)的西方初等數(shù)學(xué)知識傳入中國，中國數(shù)學(xué)家在“西學(xué)中源”思想支配下，數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)了一個中西融合貫通的局面。
十六世紀(jì)末，西方傳教士和中國學(xué)者合譯了許多西方數(shù)學(xué)專著。其中第一部且有重大影響的是意大利傳教士利馬竇和徐光啟合譯的《幾何原本》前6卷〔1607〕，其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系和演譯方法深受徐光啟推崇。徐光啟本人撰寫的《測量異同》和《勾股義》便應(yīng)用了《幾何原本》的邏輯推理方法論證中國的勾股測望術(shù)。此外，《幾何原本》課本中絕大部份的名詞都是首創(chuàng)，且沿用至今。在輸入的西方數(shù)學(xué)中僅次于幾何的是三角學(xué)。在此鎮(zhèn)銀之前，三角學(xué)只有零星的知識，而此后獲得迅速發(fā)展。介紹西方三角學(xué)的著作有鄧玉函編譯的《大測》〔2卷，1631〕、《割圓八線表》〔6卷〕和羅雅谷的《測量全義》〔10卷，1631〕。在徐光啟主持編譯的《崇禎歷書》〔137卷，1629-1633〕中，介紹了有關(guān)圓錐曲線的數(shù)學(xué)知識。
入清以后，會通中西數(shù)學(xué)的杰出代表是梅文鼎，他堅(jiān)信中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)“必有精理”，對古代名著做了深入的研究，同時又能正確對待西方數(shù)學(xué)，使之在中國扎根，對清代中期數(shù)學(xué)研究的高潮是有積極影響的。與他同時代的數(shù)學(xué)家還有王錫闡和年希堯等人。清康熙帝愛好科學(xué)研究，他“御定”的《數(shù)理精蘊(yùn)》〔53卷，1723〕，是一部比較全面的初等數(shù)學(xué)書，對當(dāng)時的數(shù)學(xué)研究有一定影響。
1840年鴉片戰(zhàn)爭后，閉關(guān)鎖國政策被迫中止。同文館內(nèi)添設(shè)“算學(xué)”，上海江南制造局內(nèi)添設(shè)翻譯館，由此開始第二次翻譯引進(jìn)的高潮。主要譯者和著作有：李善蘭與英國傳教士偉烈亞力合譯的《幾何原本》后9卷〔1857〕，使中國有了完整的《幾何原本》中譯本；《代數(shù)學(xué)》13卷〔1859〕；《代微積拾級》18卷〔1859〕。李善蘭與英國傳教士艾約瑟合譯《圓錐曲線說》3卷，華蘅芳與英國傳教士傅蘭雅合譯《代數(shù)術(shù)》25卷〔1872〕，《微積溯源》8卷〔1874〕，《決疑數(shù)學(xué)》10卷〔1880〕等。在這些譯著中，創(chuàng)造了許多數(shù)學(xué)名詞和術(shù)語，至今仍在應(yīng)用。1898年建立京師大學(xué)堂，同文館并入。1905年廢除科舉，建立西方式學(xué)校教育，使用的課本也與西方其它各國相仿。這一時期是從20世紀(jì)初至今的一段時間，常以1949年新中國成立為標(biāo)志劃分為兩個階段。
中國近現(xiàn)代數(shù)學(xué)開始于清末民初的留學(xué)活動。較早出國學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有1903年留日的馮祖荀，1908年留美的鄭之蕃，1910年留美的胡明復(fù)和趙元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何魯，1913年留日的陳建功和留比利時的熊慶來〔1915年轉(zhuǎn)留法〕，1919年留日的蘇步青等人。他們中的多數(shù)回國后成為著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，為中國近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展做出重要貢獻(xiàn)。其中胡明復(fù)1917年取得美國哈佛大學(xué)博士學(xué)位，成為第一位獲得博士學(xué)位的中國數(shù)學(xué)家。隨著留學(xué)人員的回國，各地大學(xué)的數(shù)學(xué)教育有了起色。最初只有北京大學(xué)1912年成立時建立的數(shù)學(xué)系，1920年姜立夫在天津南開大學(xué)創(chuàng)建數(shù)學(xué)系，1921年和1926年熊慶來分別在東南大學(xué)〔今南京大學(xué)〕和清華大學(xué)建立數(shù)學(xué)系，不久武漢大學(xué)、齊魯大學(xué)、浙江大學(xué)、中山大學(xué)陸續(xù)設(shè)立了數(shù)學(xué)系，到1932年各地已有32所大學(xué)設(shè)立了數(shù)學(xué)系或數(shù)理系。1930年熊慶來在清華大學(xué)首創(chuàng)數(shù)學(xué)研究部，開始招收研究生，陳省身、吳大任成為國內(nèi)最早的數(shù)學(xué)研究生。三十年代出國學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的還有江澤涵〔1927〕、陳省身〔1934〕、華羅庚〔1936〕、許寶騤〔1936〕等人，他們都成為中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的骨干力量。同時外國數(shù)學(xué)家也有來華講學(xué)的，例如英國的羅素〔1920〕，美國的伯克霍夫〔1934〕、奧斯古德〔1934〕、維鋒襲納〔1935〕，法國的阿達(dá)馬〔1936〕等人。1935年中國數(shù)學(xué)會成立大會在上海召開，共有33名代表出席。1936年〈中國數(shù)學(xué)會學(xué)報(bào)〉和《數(shù)學(xué)雜志》相繼問世，這些標(biāo)志著中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的進(jìn)一步發(fā)展。解放以前的數(shù)學(xué)研究集中在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在國內(nèi)外共發(fā)表論著600余種。在分析學(xué)方面，陳建功的三角級數(shù)論，熊慶來的亞純函數(shù)與整函數(shù)論研究是代表作，另外還有泛函分銀旅兄析、變分法、微分方程與積分方程的成果；在數(shù)論與代數(shù)方面，華羅庚等人的解析數(shù)論、幾何數(shù)論和代數(shù)數(shù)論以及近世代數(shù)研究取得令世人矚目的成果；在幾何與拓?fù)鋵W(xué)方面，蘇步青的微分幾何學(xué)，江澤涵的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)，陳省身的纖維叢理論和示性類理論等研究做了開創(chuàng)性的工作：在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面，許寶騤在一元和多元分析方面得到許多基本定理及嚴(yán)密證明。此外，李儼和錢寶琮開創(chuàng)了中國數(shù)學(xué)史的研究，他們在古算史料的注釋整理和考證分析方面做了許多奠基性的工作，使中國的民族文化遺產(chǎn)重放光彩。
1949年11月即成立中國科學(xué)院。1951年3月《中國數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》復(fù)刊〔1952年改為《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》〕，1951年10月《中國數(shù)學(xué)雜志》復(fù)刊〔1953年改為《數(shù)學(xué)通報(bào)》〕。1951年8月中國數(shù)學(xué)會召開建國后第一次國代表大會，討論了數(shù)學(xué)發(fā)展方向和各類學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)改革問題。
建國后的數(shù)學(xué)研究取得長足進(jìn)步。50年代初期就出版了華羅庚的《堆棧素?cái)?shù)論》〔1953〕、蘇步青的《射影曲線概論》〔1954〕、陳建功的《直角函數(shù)級數(shù)的和》〔1954〕和李儼的《中算史論叢》5集〔1954-1955〕等專著，到1966年，共發(fā)表各種數(shù)學(xué)論文約2萬余篇。除了在數(shù)論、代數(shù)、幾何、拓?fù)洹⒑瘮?shù)論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)史等學(xué)科繼續(xù)取得新成果外，還在微分方程、計(jì)算技術(shù)、運(yùn)籌學(xué)、數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等分支有所突破，有許多論著達(dá)到世界先進(jìn)水平，同時培養(yǎng)和成長起一大批優(yōu)秀數(shù)學(xué)家。
60年代后期，中國的數(shù)學(xué)研究基本停止，教育癱瘓、人員喪失、對外交流中斷，后經(jīng)多方努力狀況略有改變。1970年《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》恢復(fù)出版，并創(chuàng)刊《數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識》。1973年陳景潤在《中國科學(xué)》上發(fā)表《大偶數(shù)表示為一個素?cái)?shù)及一個不超過二個素?cái)?shù)的乘積之和》的論文，在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外中國數(shù)學(xué)家在函數(shù)論、馬爾可夫過程、概率應(yīng)用、運(yùn)籌學(xué)、優(yōu)選法等方面也有一定創(chuàng)見。
1978年11月中國數(shù)學(xué)會召開第三次代表大會，標(biāo)志著中國數(shù)學(xué)的復(fù)蘇。1978年恢復(fù)全國數(shù)學(xué)競賽，1985年中國開始參加國際數(shù)學(xué)奧林匹克數(shù)學(xué)競賽。1981年陳景潤等數(shù)學(xué)家獲國家自然科學(xué)獎勵。1983年國家首批授于18名中青年學(xué)者以博士學(xué)位，其中數(shù)學(xué)工作者占2/3。1986年中國第一次派代表參加國際數(shù)學(xué)家大會，加入國際數(shù)學(xué)聯(lián)合會，吳文俊應(yīng)邀作了關(guān)于中國古代數(shù)學(xué)史的45分鐘演講。近十幾年來數(shù)學(xué)研究碩果累累，發(fā)表論文專著的數(shù)量成倍增長，質(zhì)量不斷上升。1985年慶祝中國數(shù)學(xué)會成立50周年年會上，已確定中國數(shù)學(xué)發(fā)展的長遠(yuǎn)目標(biāo)。代表們立志要不懈地努力，爭取使中國在世界上早日成為新的數(shù)學(xué)大國。
⑴以算法為中心，屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)。中國數(shù)學(xué)不脫離社會生活與生產(chǎn)的實(shí)際，以解決實(shí)際問題為目標(biāo)，數(shù)學(xué)研究是圍繞建立算法與提高計(jì)算技術(shù)而展開的。
⑵具有較強(qiáng)的社會性。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中，數(shù)學(xué)被儒學(xué)家培養(yǎng)人的道德與技能的基本知識---六藝（禮、樂、射、御、書、數(shù)）之一，它的作用在于“通神明、順性命，經(jīng)世務(wù)、類萬物”，所以中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)總是被打上中國哲學(xué)與古代學(xué)術(shù)思想的烙印，往往與術(shù)數(shù)交織在一起。同時，數(shù)學(xué)教育與研究往往被封建政府所控制，唐宋時代的數(shù)學(xué)教育與科舉制度、歷代數(shù)學(xué)家往往是政府的天文官員，這些事例充分反映了這一性質(zhì)。
⑶寓理山宏于算，理論高度概括。由于中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)注重解決實(shí)際問題，而且因中國人綜合、歸納思維的決定，所以中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不關(guān)心數(shù)學(xué)理論的形式化，但這并不意味中國傳統(tǒng)僅停留在經(jīng)驗(yàn)層次而無理論建樹。其實(shí)中國數(shù)學(xué)的算法中蘊(yùn)涵著建立這些算法的理論基礎(chǔ)，中國數(shù)學(xué)家習(xí)慣把數(shù)學(xué)概念與方法建立在少數(shù)幾個不證自明、形象直觀的數(shù)學(xué)原理之上，如代數(shù)中的“率”的理論，平面幾何中的“出入相補(bǔ)”原理，立體幾何中的“陽馬術(shù)”、曲面體理論搜州中的“截面原理”（或稱劉祖原理，即卡瓦列利原理）等等。
10、中國數(shù)學(xué)對世界的影響
數(shù)學(xué)活動有兩項(xiàng)基本工作----證明與計(jì)算，前者是由于接受了公理化（演繹化）數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)，后者是由于接受了機(jī)械化（算法化）數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)。在世界數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)中，以歐幾里得《幾何原本》為代表的希臘數(shù)學(xué)，無疑是西方演繹數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的基礎(chǔ)，而以《九章算術(shù)》為代表的中國數(shù)學(xué)無疑是東方算法化逗漏冊數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的基礎(chǔ)，它們東西輝映，共同促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)文化的發(fā)展。
中國數(shù)學(xué)通過絲綢之路傳播到印度、阿拉伯地區(qū)，后來經(jīng)阿拉伯人傳入西方。而且在漢字文化圈內(nèi)，一直影響著日本、朝鮮半島、越南等亞洲國家的數(shù)學(xué)發(fā)展。
中國古代數(shù)學(xué)輝煌史
中國古代數(shù)學(xué)的萌芽
原始公社末期，私有制和貨物交換產(chǎn)生以后，數(shù)與形的概念有了進(jìn)一步的發(fā)展，仰韶文化時期出土的
陶器，上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期，已開始用文字符號取代結(jié)繩記事了。
西安半坡出土的陶器有用1～8個圓點(diǎn)組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案，半坡遺址
的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創(chuàng)造了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖與測量
。據(jù)《史記·夏本紀(jì)》記載，夏禹治水時已使用了這些。
商代中期，在甲骨文中已產(chǎn)生一套十進(jìn)制數(shù)字和記數(shù)法，其中最大的數(shù)字為三萬；與此同時，殷人用
十個天干和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期；在周代，又把以前用陰
、陽符號構(gòu)成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦，表示64種事物。
公元前一世紀(jì)的《周髀算經(jīng)祥蠢》提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠(yuǎn)的方法，并舉出勾股形的勾三、
股四、弦五以及環(huán)矩可以為圓等例子。《禮記·內(nèi)則》篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學(xué)習(xí)數(shù)目和記
數(shù)方法，他們要受禮、樂、射、馭、書、數(shù)的訓(xùn)練，作為“六藝”之一的數(shù)已經(jīng)開始成為專門的課程。
春秋戰(zhàn)國之際，籌算已得到普遍的應(yīng)用，籌算記數(shù)法已使用十進(jìn)位值制，這種記數(shù)法對世界數(shù)學(xué)的發(fā)
展是有劃時代意義的。這個時期的測量數(shù)學(xué)在生產(chǎn)上有了廣泛應(yīng)用，在數(shù)學(xué)上亦有相應(yīng)的提高。
戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其是對于正名和一些命題的爭論直接與數(shù)學(xué)有關(guān)。名家
認(rèn)為經(jīng)過抽象以后的名詞概念與它們原來的實(shí)體不同，他們提出“矩不方，規(guī)不可以為圓”，把“大一”(
無窮大)定義為“至大無外”，“小一”(無窮小)定義為“至小無內(nèi)”。還提出了“一尺之棰，日取其半，
萬世不竭”等命題。
而墨家則跡茄認(rèn)為名來源于物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數(shù)學(xué)定義。例如圓、
方、平、直、次(相切)、端(點(diǎn))等等。
墨家不同意“一尺之棰”的命題，提出一個“非半”的命題來進(jìn)行反駁：將一線段按一半一半地?zé)o限
分割下去，就必將出現(xiàn)一個不能再分割的“非半”，這個“非半”就是點(diǎn)。
名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列，墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結(jié)果
。名家和墨家的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)命題的討論，對中國古代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展是很有意義的。
中國古代數(shù)學(xué)體系的形成
秦漢是封建社會的上升時期，經(jīng)濟(jì)和文化均得到迅速發(fā)展。中國古代數(shù)學(xué)體系正是形成于這個時期，
它的主要標(biāo)志是算術(shù)已成為一個專門的學(xué)科，以及以《九章算術(shù)》為代表的數(shù)學(xué)著作的出現(xiàn)。
《九章算術(shù)》是戰(zhàn)國、秦、漢封建社會創(chuàng)立并鞏固時期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)，就其數(shù)學(xué)成就來說，堪稱是
世界數(shù)學(xué)名著。例如分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、今有術(shù)(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數(shù)值解法)、
盈不足術(shù)(西方稱雙設(shè)法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負(fù)數(shù)運(yùn)算的加減法則、勾股形解法(
特別是勾股定理和求勾股數(shù)的方法)等，水平都是很高的。其中方程組解法和正負(fù)數(shù)加減法則在世界數(shù)學(xué)發(fā)
展上是遙遙領(lǐng)先的。就其特點(diǎn)來說，它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數(shù)學(xué)完全不同的獨(dú)立體系。
《九章算術(shù)》有幾個顯著的特點(diǎn)：采用按類分章的數(shù)學(xué)問題集的形式；算式都是從籌算記數(shù)法發(fā)展起來
的；以算術(shù)、代數(shù)為主，很少涉及圖形性質(zhì)；重視應(yīng)用，缺乏理論闡述等。
這些特點(diǎn)是同當(dāng)時社會條件與學(xué)術(shù)思想密切相關(guān)的。秦漢時期，一切科學(xué)技術(shù)都要為當(dāng)時確立和鞏固
封建制度，以及發(fā)展社會生產(chǎn)服務(wù)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。最后成書于東漢初年的《九章算術(shù)》，排除了戰(zhàn)
國時期在百家爭鳴中出現(xiàn)的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論，偏重于與當(dāng)時生產(chǎn)、生活密切相結(jié)合
的數(shù)學(xué)問題及其解法，這與當(dāng)時社會的發(fā)展情況是完全一致的。
《九章算術(shù)》在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本，并成為這些國家當(dāng)時的數(shù)學(xué)教科書。它的一些謹(jǐn)州陪成就如十
進(jìn)位值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯，并通過印度、阿拉伯傳到歐洲，促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的
發(fā)展。
中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展
魏、晉時期出現(xiàn)的玄學(xué)，不為漢儒經(jīng)學(xué)束縛，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能運(yùn)用邏輯思維，分析
義理，這些都有利于數(shù)學(xué)從理論上加以提高。吳國趙爽注《周髀算經(jīng)》，漢末魏初徐岳撰《九章算術(shù)》注
，魏末晉初劉徽撰《九章算術(shù)》注、《九章重差圖》都是出現(xiàn)在這個時期。趙爽與劉徽的工作為中國古代
數(shù)學(xué)體系奠定了理論基礎(chǔ)。
趙爽是中國古代對數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明與推導(dǎo)的最早的數(shù)學(xué)家之一。他在《周髀算經(jīng)》書中補(bǔ)充
的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重要的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。在“勾股圓方圖及注”中他提出用弦圖
證明勾股定理和解勾股形的五個公式；在“日高圖及注”中，他用圖形面積證明漢代普遍應(yīng)用的重差公式
，趙爽的工作是帶有開創(chuàng)性的，在中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展中占有重要地位。
劉徽約與趙爽同時，他繼承和發(fā)展了戰(zhàn)國時期名家和墨家的思想，主張對一些數(shù)學(xué)名詞特別是重要的
數(shù)學(xué)概念給以嚴(yán)格的定義，認(rèn)為對數(shù)學(xué)知識必須進(jìn)行“析理”，才能使數(shù)學(xué)著作簡明嚴(yán)密，利于讀者。他
的《九章算術(shù)》注不僅是對《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，而且在論述的過程
中有很大的發(fā)展。劉徽創(chuàng)造割圓術(shù)，利用極限的思想證明圓的面積公式，并首次用理論的方法算得圓周率
為 157/50和 3927/1250。
劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2:1，解決了一般立體體積的關(guān)鍵問
題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺的體積時，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。
東晉以后，中國長期處于戰(zhàn)爭和南北分裂的狀態(tài)。祖沖之父子的工作就是經(jīng)濟(jì)文化南移以后，南方數(shù)
學(xué)發(fā)展的具有代表性的工作，他們在劉徽注《九章算術(shù)》的基礎(chǔ)上，把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步。他
們的數(shù)學(xué)工作主要有：計(jì)算出圓周率在3.1415926～3.1415927之間；提出祖(日恒)原理；提出二次與三次
方程的解法等。
據(jù)推測，祖沖之在劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上，算出圓內(nèi)接正6144邊形和正12288邊形的面積，從而得到了這
個結(jié)果。他又用新的方法得到圓周率兩個分?jǐn)?shù)值，即約率22/7和密率355/113。祖沖之這一工作，使中國在
圓周率計(jì)算方面，比西方領(lǐng)先約一千年之久；
祖沖之之子祖(日恒)總結(jié)了劉徽的有關(guān)工作，提出“冪勢既同則積不容異”，即等高的兩立體，若其
任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等，這就是著名的祖(日恒)公理。祖(日恒)應(yīng)用這個公理
，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。
隋煬帝好大喜功，大興土木，客觀上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通的《緝古算經(jīng)》，主要討論土木
工程中計(jì)算土方、工程分工、驗(yàn)收以及倉庫和地窖的計(jì)算問題，反映了這個時期數(shù)學(xué)的情況。王孝通在不
用數(shù)學(xué)符號的情況下，立出數(shù)字三次方程，不僅解決了當(dāng)時社會的需要，也為后來天元術(shù)的建立打下基礎(chǔ)
。此外，對傳統(tǒng)的勾股形解法，王孝通也是用數(shù)字三次方程解決的。
唐初封建統(tǒng)治者繼承隋制，656年在國子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館，設(shè)有算學(xué)博士和助教，學(xué)生30人。由太史令李
淳風(fēng)等編纂注釋《算經(jīng)十書》，作為算學(xué)館學(xué)生用的課本，明算科考試亦以這些算書為準(zhǔn)。李淳風(fēng)等編纂
的《算經(jīng)十書》，對保存數(shù)學(xué)經(jīng)典著作、為數(shù)學(xué)研究提供文獻(xiàn)資料方面是很有意義的。他們給《周髀算經(jīng)
》、《九章算術(shù)》以及《海島算經(jīng)》所作的注解，對讀者是有幫助的。隋唐時期，由于歷法的需要，天算
學(xué)家創(chuàng)立了二次函數(shù)的內(nèi)插法，豐富了中國古代數(shù)學(xué)的內(nèi)容。
算籌是中國古代的主要計(jì)算，它具有簡單、形象、具體等優(yōu)點(diǎn)，但也存在布籌占用面積大，運(yùn)籌
速度加快時容易擺弄不正而造成錯誤等缺點(diǎn)，因此很早就開始進(jìn)行改革。其中太乙算、兩儀算、三才算和
珠算都是用珠的槽算盤，在技術(shù)上是重要的改革。尤其是“珠算”，它繼承了籌算五升十進(jìn)與位值制的優(yōu)
點(diǎn)，又克服了籌算縱橫記數(shù)與置籌不便的缺點(diǎn)，優(yōu)越性十分明顯。但由于當(dāng)時乘除算法仍然不能在一個橫
列中進(jìn)行。算珠還沒有穿檔，攜帶不方便，因此仍沒有普遍應(yīng)用。
唐中期以后，商業(yè)繁榮，數(shù)字計(jì)算增多，迫切要求改革計(jì)算方法，從《新唐書》等文獻(xiàn)留下來的算書
書目，可以看出這次算法改革主要是簡化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一個橫列中進(jìn)行運(yùn)
算，它既適用于籌算，也適用于珠算。
中國古代數(shù)學(xué)的繁榮
960年，北宋王朝的建立結(jié)束了五代十國割據(jù)的局面。北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學(xué)技術(shù)
突飛猛進(jìn)，火藥、指南針、印刷術(shù)三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟(jì)高漲的情況下得到廣泛應(yīng)用。1084年秘書省第
一次印刷出版了《算經(jīng)十書》，1213年鮑搟之又進(jìn)行翻刻。這些都為數(shù)學(xué)發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。
從11～14世紀(jì)約300年期間，出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作，如賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》，
劉益的《議古根源》，秦九韶的《數(shù)書九章》，李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章
算法》《日用算法》和《楊輝算法》，朱世杰的《算學(xué)啟蒙》《四元玉鑒》等，很多領(lǐng)域都達(dá)到古代數(shù)學(xué)
的高峰，其中一些成就也是當(dāng)時世界數(shù)學(xué)的高峰。
從開平方、開立方到四次以上的開方，在認(rèn)識上是一個飛躍，實(shí)現(xiàn)這個飛躍的就是賈憲。楊輝在《九
章算法纂類》中載有賈憲“增乘開平方法”、“增乘開立方法”；在《詳解九章算法》中載有賈憲的“開
方作法本源”圖、“增乘方法求廉草”和用增乘開方法開四次方的例子。根據(jù)這些記錄可以確定賈憲已發(fā)
現(xiàn)二項(xiàng)系數(shù)表，創(chuàng)造了增乘開方法。這兩項(xiàng)成就對整個宋元數(shù)學(xué)發(fā)生重大的影響，其中賈憲三角比西方的
帕斯卡三角形早提出600多年。
把增乘開方法推廣到數(shù)字高次方程(包括系數(shù)為負(fù)的情形)解法的是劉益。《楊輝算法》中“田畝比類
乘除捷法”卷，介紹了原書中22個二次方程和 1個四次方程，后者是用增乘開方法解三次以上的高次方程
的最早例子。
秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《數(shù)書九章》中收集了21個用增乘開方法解高次方程(最高次
數(shù)為10)的問題。為了適應(yīng)增乘開方法的計(jì)算程序，奏九韶把常數(shù)項(xiàng)規(guī)定為負(fù)數(shù)，把高次方程解法分成各種
類型。當(dāng)方程的根為非整數(shù)時，秦九韶采取繼續(xù)求根的小數(shù)，或用減根變換方程各次冪的系數(shù)之和為分母
，常數(shù)為分子來表示根的非整數(shù)部分，這是《九章算術(shù)》和劉徽注處理無理數(shù)方法的發(fā)展。在求根的第二
位數(shù)時，秦九韶還提出以一次項(xiàng)系數(shù)除常數(shù)項(xiàng)為根的第二位數(shù)的試除法，這比西方最早的霍納方法早500多
年。
元代天文學(xué)家王恂、郭守敬等在《授時歷》中解決了三次函數(shù)的內(nèi)插值問題。秦九韶在“綴術(shù)推星”
題、朱世杰在《四元玉鑒》“如象招數(shù)”題都提到內(nèi)插法(他們稱為招差術(shù))，朱世杰得到一個四次函數(shù)的
內(nèi)插公式。
用天元(相當(dāng)于x)作為未知數(shù)符號，立出高次方程，古代稱為天元術(shù)，這是中國數(shù)學(xué)史上首次引入符號
，并用符號運(yùn)算來解決建立高次方程的問題。現(xiàn)存最早的天元術(shù)著作是李冶的《測圓海鏡》。
從天元術(shù)推廣到二元、三元和四元的高次聯(lián)立方程組，是宋元數(shù)學(xué)家的又一項(xiàng)杰出的創(chuàng)造。留傳至今
，并對這一杰出創(chuàng)造進(jìn)行論述的是朱世杰的《四元玉鑒》。
朱世杰的四元高次聯(lián)立方程組表示法是在天元術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，他把常數(shù)放在中央，四元的各
次冪放在上、下、左、右四個方向上，其他各項(xiàng)放在四個象限中。朱世杰的最大貢獻(xiàn)是提出四元消元法，
其方法是先擇一元為未知數(shù)，其他元組成的多項(xiàng)式作為這未知數(shù)的系數(shù)，列成若干個一元高次方程式，然
后應(yīng)用互乘相消法逐步消去這一未知數(shù)。重復(fù)這一步驟便可消去其他未知數(shù)，最后用增乘開方法求解。這
是線性方法組解法的重大發(fā)展，比西方同類方法早400多年。
勾股形解法在宋元時期有新的發(fā)展，朱世杰在《算學(xué)啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形
的方法，補(bǔ)充了《九章算術(shù)》的不足。李冶在《測圓海鏡》對勾股容圓問題進(jìn)行了詳細(xì)的研究，得到九個
容圓公式，大大豐富了中國古代幾何學(xué)的內(nèi)容。
已知黃道與赤道的夾角和太陽從冬至點(diǎn)向春分點(diǎn)運(yùn)行的黃經(jīng)余弧，求赤經(jīng)余弧和赤緯度數(shù)，是一個解
球面直角三角形的問題，傳統(tǒng)歷法都是用內(nèi)插法進(jìn)行計(jì)算。元代王恂、郭守敬等則用傳統(tǒng)的勾股形解法、
沈括用會圓術(shù)和天元術(shù)解決了這個問題。不過他們得到的是一個近似公式，結(jié)果不夠精確。但他們的整個
推算步驟是正確無誤的，從數(shù)學(xué)意義上講，這個方法開辟了通往球面三角法的途徑。
中國古代計(jì)算技術(shù)改革的高潮也是出現(xiàn)在宋元時期。宋元明的歷史文獻(xiàn)中載有大量這個時期的實(shí)用算
術(shù)書目，其數(shù)量遠(yuǎn)比唐代為多，改革的主要內(nèi)容仍是乘除法。與算法改革的同時，穿珠算盤在北宋可能已
出現(xiàn)。但如果把現(xiàn)代珠算看成是既有穿珠算盤，又有一套完善的算法和口訣，那么應(yīng)該說它最后完成于元
代。
宋元數(shù)學(xué)的繁榮，是社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的必然結(jié)果，是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的必然結(jié)果。此外，
數(shù)學(xué)家們的科學(xué)思想與數(shù)學(xué)思想也是十分重要的。宋元數(shù)學(xué)家都在不同程度上反對理學(xué)家的象數(shù)神秘主義
。秦九韶雖曾主張數(shù)學(xué)與道學(xué)同出一源，但他后來認(rèn)識到，“通神明”的數(shù)學(xué)是不存在的，只有“經(jīng)世務(wù)
類萬物”的數(shù)學(xué)；莫若在《四元玉鑒》序文中提出的“用假象真，以虛問實(shí)”則代表了高度抽象思維的思
想方法；楊輝對縱橫圖結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，揭示出洛書的本質(zhì)，有力地批判了象數(shù)神秘主義。所有這些，無疑
是促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要因素。
中西方數(shù)學(xué)的融合
中國從明代開始進(jìn)入了封建社會的晚期，封建統(tǒng)治者實(shí)行極權(quán)統(tǒng)治，宣傳唯心主義哲學(xué)，施行八股考
試制度。在這種情況下，除珠算外，數(shù)學(xué)發(fā)展逐漸衰落。
16世紀(jì)末以后，西方初等數(shù)學(xué)陸續(xù)傳入中國，使中國數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)一個中西融合貫通的局面；鴉片戰(zhàn)
爭以后，近代數(shù)學(xué)開始傳入中國，中國數(shù)學(xué)便轉(zhuǎn)入一個以學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)為主的時期；到19世紀(jì)末20世紀(jì)初
，近代數(shù)學(xué)研究才真正開始。
從明初到明中葉，商品經(jīng)濟(jì)有所發(fā)展，和這種商業(yè)發(fā)展相適應(yīng)的是珠算的普及。明初《魁本對相四言
雜字》和《魯班木經(jīng)》的出現(xiàn)，說明珠算已十分流行。前者是兒童看圖識字的課本，后者把算盤作為家庭
必需用品列入一般的木器家具手冊中。
隨著珠算的普及，珠算算法和口訣也逐漸趨于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞歸、起一口訣
；徐心魯和程大位增添加、減口訣并在除法中廣泛應(yīng)用歸除，從而實(shí)現(xiàn)了珠算四則運(yùn)算的全部口訣化；朱
載墑和程大位把籌算開平方和開立方的方法應(yīng)用到珠算，程大位用珠算解數(shù)字二次、三次方程等等。程大
位的著作在國內(nèi)外流傳很廣，影響很大。
1582年，意大利傳教士利瑪竇到中國，1607年以后，他先后與徐光啟翻譯了《幾何原本》前六卷、《
測量法義》一卷，與李之藻編譯《圜容較義》和《同文算指》。1629年，徐光啟被禮部任命督修歷法，在
他主持下，編譯《崇禎歷書》137卷。《崇禎歷書》主要是介紹歐洲天文學(xué)家第谷的地心學(xué)說。作為這一學(xué)
說的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，希臘的幾何學(xué)，歐洲玉山若干的三角學(xué)，以及納皮爾算籌、伽利略比例規(guī)等計(jì)算也同
時介紹進(jìn)來。
在傳入的數(shù)學(xué)中，影響最大的是《幾何原本》。《幾何原本》是中國第一部數(shù)學(xué)翻譯著作，絕大部分
數(shù)學(xué)名詞都是首創(chuàng)，其中許多至今仍在沿用。徐光啟認(rèn)為對它“不必疑”、“不必改”，“舉世無一人不
當(dāng)學(xué)”。《幾何原本》是明清兩代數(shù)學(xué)家必讀的數(shù)學(xué)書，對他們的研究工作頗有影響。
其次應(yīng)用最廣的是三角學(xué)，介紹西方三角學(xué)的著作有《大測》《割圓八線表》和《測量全義》。《大
測》主要說明三角八線(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢)的性質(zhì)，造表方法和用表方
法。《測量全義》除增加一些《大測》所缺的平面三角外，比較重要的是積化和差公式和球面三角。所有
這些，在當(dāng)時歷法工作中都是隨譯隨用的。
1646年，波蘭傳教士穆尼閣來華，跟隨他學(xué)習(xí)西方科學(xué)的有薛鳳柞、方中通等。穆尼閣去世后，薛鳳
柞據(jù)其所學(xué)，編成《歷學(xué)會通》，想把中法西法融會貫通起來。《歷學(xué)會通》中的數(shù)學(xué)內(nèi)容主要有比例對
數(shù)表》《比例四線新表》和《三角算法》。前兩書是介紹英國數(shù)學(xué)家納皮爾和布里格斯發(fā)明增修的對數(shù)。
后一書除《崇禎歷書》介紹的球面三角外，尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式、納氏比例式等。方中
通所著《數(shù)度衍》對對數(shù)理論進(jìn)行解釋。對數(shù)的傳入是十分重要，它在歷法計(jì)算中立即就得到應(yīng)用。
清初學(xué)者研究中西數(shù)學(xué)有心得而著書傳世的很多，影響較大的有王錫闡《圖解》、梅文鼎《梅氏叢書
輯要》(其中數(shù)學(xué)著作13種共40卷)、年希堯《視學(xué)》等。梅文鼎是集中西數(shù)學(xué)之大成者。他對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中
的線性方程組解法、勾股形解法和高次冪求正根方法等方面進(jìn)行整理和研究，使瀕于枯萎的明代數(shù)學(xué)出現(xiàn)
了生機(jī)。年希堯的《視學(xué)》是中國第一部介紹西方****學(xué)的著作。
清康熙皇帝十分重視西方科學(xué)，他除了親自學(xué)習(xí)天文數(shù)學(xué)外，還培養(yǎng)了一些人才和翻譯了一些著作。
1712年康熙皇帝命梅彀成任蒙養(yǎng)齋匯編官，會同陳厚耀、何國宗、明安圖、楊道聲等編纂天文算法書。
1721年完成《律歷淵源》100卷，以康熙“御定”的名義于1723年出版。其中《數(shù)理精蘊(yùn)》主要由梅彀成負(fù)
責(zé)，分上下兩編，上編包括《幾何原本》、《算法原本》，均譯自法文著作；下編包括算術(shù)、代數(shù)、平面
幾何平面三角、立體幾何等初等數(shù)學(xué)，附有素?cái)?shù)表、對數(shù)表和三角函數(shù)表。由于它是一部比較全面的初等
數(shù)學(xué)百科全書，并有康熙“御定”的名義，因此對當(dāng)時數(shù)學(xué)研究有一定影響。
綜上述可以看到，清代數(shù)學(xué)家對西方數(shù)學(xué)做了大量的會通工作，并取得許多獨(dú)創(chuàng)性的成果。這些成果
，如和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)比較，是有進(jìn)步的，但和同時代的西方比較則明顯落后了。
雍正即位以后，對外閉關(guān)自守，導(dǎo)致西方科學(xué)停止輸入中國，對內(nèi)實(shí)行高壓政策，致使一般學(xué)者既不
能接觸西方數(shù)學(xué)，又不敢過問經(jīng)世致用之學(xué)，因而埋頭于究治古籍。乾嘉年間逐漸形成一個以考據(jù)學(xué)為主
的乾嘉學(xué)派。
隨著《算經(jīng)十書》與宋元數(shù)學(xué)著作的收集與注釋，出現(xiàn)了一個研究傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的高潮。其中能突破舊有
框框并有發(fā)明創(chuàng)造的有焦循、汪萊、李銳、李善蘭等。他們的工作，和宋元時代的代數(shù)學(xué)比較是青出于藍(lán)
而勝于藍(lán)的；和西方代數(shù)學(xué)比較，在時間上晚了一些，但這些成果是在沒有受到西方近代數(shù)學(xué)的影響下獨(dú)
立得到的。
與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)高潮的同時，阮元與李銳等編寫了一部天文數(shù)學(xué)家傳記—《疇人傳》，收集了從
黃帝時期到嘉慶四年已故的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家270余人(其中有數(shù)學(xué)著作傳世的不足50人)，和明末以來介紹
西方天文數(shù)學(xué)的傳教士41人。這部著作全由“掇拾史書，荃萃群籍，甄而錄之”而成，收集的完全是第一
手的原始資料，在學(xué)術(shù)界頗有影響。
1840年鴉片戰(zhàn)爭以后，西方近代數(shù)學(xué)開始傳入中國。首先是英人在上海設(shè)立墨海書館，介紹西方數(shù)學(xué)
。第二次鴉片戰(zhàn)爭后，曾國藩、李鴻章等官僚集團(tuán)開展“洋務(wù)運(yùn)動”，也主張介紹和學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)，組織
翻譯了一批近代數(shù)學(xué)著作。
其中較重要的有李善蘭與偉烈亞力翻譯的《代數(shù)學(xué)》《代微積拾級》；華蘅芳與英人傅蘭雅合譯的《
代數(shù)術(shù)》《微積溯源》《決疑數(shù)學(xué)》；鄒立文與狄考文編譯的《形學(xué)備旨》《代數(shù)備旨》《筆算數(shù)學(xué)》；
謝洪賚與潘慎文合譯的《代形合參》《八線備旨》等等。
《代微積拾級》是中國第一部微積分學(xué)譯本；《代數(shù)學(xué)》是英國數(shù)學(xué)家德·摩根所著的符號代數(shù)學(xué)譯
本；《決疑數(shù)學(xué)》是第一部概率論譯本。在這些譯著中，創(chuàng)造了許多數(shù)學(xué)名詞和術(shù)語，至今還在應(yīng)用，但
所用數(shù)學(xué)符號一般已被淘汰了。戊戌變法以后，各地興辦新法學(xué)校，上述一些著作便成為主要教科書。
在翻譯西方數(shù)學(xué)著作的同時，中國學(xué)者也進(jìn)行一些研究，寫出一些著作，較重要的有李善蘭的《《尖
錐變法解》《考數(shù)根法》；夏彎翔的《洞方術(shù)圖解》《致曲術(shù)》《致曲圖解》等等，都是會通中西學(xué)術(shù)思
想的研究成果。
由于輸入的近代數(shù)學(xué)需要一個消化吸收的過程，加上清末統(tǒng)治者十分腐敗，在太平天國運(yùn)動的沖擊下
，在帝國主義列強(qiáng)的掠奪下，焦頭爛額，無暇顧及數(shù)學(xué)研究。直到1919年五四運(yùn)動以后，中國近代數(shù)學(xué)的
研究才真正開始。
春秋時期出現(xiàn)九九乘法口訣，和慎春秋戰(zhàn)國時期又出現(xiàn)籌算計(jì)算法，，元代又發(fā)展成珠算法，
東漢時期，九章算喚灶敬術(shù)辯遲標(biāo)志著古代數(shù)學(xué)題系的形成
祖沖之將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，領(lǐng)先世界1000多年
在四大文明古國中，中國數(shù)學(xué)持續(xù)繁榮時期最為長久。在古代著作《世本》中就已提到黃帝使“隸首作算數(shù)”，但這只是傳說。
在殷商甲骨文記錄中，中國已經(jīng)使用完整的十進(jìn)制記數(shù)，春秋戰(zhàn)國時代，又開始出現(xiàn)嚴(yán)格的十進(jìn)位制籌算計(jì)數(shù)。籌算作為中改襲國古代的計(jì)算，是中國古代數(shù)學(xué)對人類文明的特殊貢獻(xiàn)。
五千多年前的仰韶文化時期的彩陶器上，繪有多種幾何圖形，仰韶文化遺址中還出土了六角和九角形的陶環(huán)，說明當(dāng)時已有一些簡單的幾何知識。
我國是世界上最早使用十進(jìn)制計(jì)數(shù)的國家之一。商代甲骨文中已有十進(jìn)制計(jì)數(shù)，最大數(shù)字為三萬。商和西周時已掌握自然數(shù)的簡單運(yùn)算，已會運(yùn)用倍數(shù)。
從公元前后至公元14世紀(jì)，中國古典數(shù)學(xué)先后經(jīng)歷了三次發(fā)展高潮，即秦漢時期、魏晉南北朝時期和宋元時期，并在宋元時期達(dá)到頂峰。
秦漢是中國古代數(shù)學(xué)體系形成的時期，它的主要標(biāo)志是算術(shù)已成為一個專門的學(xué)科，以及以《九章算術(shù)》為代表的數(shù)學(xué)著作的出現(xiàn)。
成書于東漢初年的《九章算術(shù)》，是秦漢封建社會創(chuàng)立并鞏固時期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)，就其數(shù)學(xué)成就來說，堪稱是世界數(shù)學(xué)名著。書中已經(jīng)有分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、開平方與開立方以及二橋殲枯次方程數(shù)值解法、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負(fù)數(shù)運(yùn)算的加減法則、勾股定理和求勾股數(shù)的方法等，水平都是很高的。其中方程組解法和正負(fù)數(shù)加減法則在當(dāng)時的世界數(shù)學(xué)發(fā)展上是遙遙領(lǐng)先的。
秦漢時期的數(shù)學(xué)多強(qiáng)調(diào)實(shí)用性，偏重于與當(dāng)時生產(chǎn)、生活密切相結(jié)合的數(shù)學(xué)問題及其解法。《九章算術(shù)》后來傳到了日本、歐洲等國家，對世界數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了很大的貢獻(xiàn)。
魏、晉時期出現(xiàn)的玄學(xué)到南北朝時非常繁榮，玄學(xué)掙脫了漢儒經(jīng)學(xué)的束縛，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能運(yùn)用邏輯思維，分析義理，這些都有利于數(shù)學(xué)從理論上加以提高。其中吳國趙爽注《周髀算經(jīng)》，魏末晉初劉徽撰《<九章算術(shù)>注》以及《九章重差圖》都是出現(xiàn)在這個時期。他們?yōu)橹袊糯鷶?shù)學(xué)體系奠定了理論基礎(chǔ)。
趙爽是中國古代對數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明與推導(dǎo)的最早的數(shù)學(xué)家之一，他在《周髀算經(jīng)》書中補(bǔ)充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重要的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。在“勾股圓方圖及注”中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個公式；在“日高圖及注”中，他用圖形面積證明漢代普遍應(yīng)用的重差公式，趙爽的工作是具有開創(chuàng)性的，在中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展中占有重要地位。劉徽的《<九章算術(shù)>注》不僅是對《九章算術(shù)》中提到的方法、公式和定理進(jìn)行了一般的解釋和推導(dǎo)，而且在論述的過程中有很大的發(fā)展。劉徽還創(chuàng)造割圓術(shù)，利用極限的思想證明圓的面積公式，并首次用理論的方法計(jì)算圓周率，他還用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2:1，解決了一般立體體積的關(guān)鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺的體積時，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑，但他并沒有給出公式。東晉以后，中國長期處于戰(zhàn)爭和南北分裂的狀態(tài)，經(jīng)濟(jì)文化也開始南移，這促進(jìn)了南方數(shù)學(xué)的快速發(fā)展。這一時期的代表有祖沖之和他的兒子祖暅，祖沖之父子在劉徽《<九章算術(shù)>注》的基礎(chǔ)上，把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步。他們計(jì)算出圓周率在3.1415926－3.1415927之間，使中國在圓周率計(jì)算方面，比西方領(lǐng)先約一千年之久。而他的兒子祖暅則總結(jié)了劉徽的有關(guān)工作，提出“冪勢既同則積不容異”，即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等，這就是著名的祖暅公理。祖暅應(yīng)用這個公理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。
宋元時期，農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)，火藥、指南針、印刷術(shù)三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟(jì)高漲的情況下得到廣泛應(yīng)用。一些數(shù)學(xué)書籍的印刷出版，為數(shù)學(xué)發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。在這期間，出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作，如賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》，劉益的《議古根源》，秦九韶的《數(shù)書九章》，李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章算法》《日用算法》和《楊輝算法》，朱世杰的《算學(xué)啟蒙》《四元玉鑒》等，在很多領(lǐng)域都達(dá)到古代數(shù)學(xué)的高峰，其中一些成就也是當(dāng)時世界數(shù)學(xué)的高峰。
元代天文學(xué)家王恂、郭守敬等在《授時歷》中解決了三次函數(shù)的內(nèi)插值問題。中國古代計(jì)算技術(shù)改革的高潮也是出現(xiàn)在宋元時期。宋元?dú)v史文獻(xiàn)中載有大量這個時期的實(shí)用算術(shù)書目，其數(shù)量遠(yuǎn)比敏洞唐代為多，改革的主要內(nèi)容仍是乘除法。在算法改革的同時，穿珠算盤在北宋可能已出現(xiàn)。但如果把現(xiàn)代珠算看成是既有穿珠算盤，又有一套完善的算法和口訣，那么應(yīng)該說它最后完成于元代。
中國從明代開始進(jìn)入了封建社會的晚期，16世紀(jì)末以后，西方初等數(shù)學(xué)陸續(xù)傳入中國，使中國數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)一個中西融合貫通的局面；鴉片戰(zhàn)爭以后，近代數(shù)學(xué)開始傳入中國，中國數(shù)學(xué)便轉(zhuǎn)入一個以學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)為主的時期；到19世紀(jì)末20世紀(jì)初，近代數(shù)學(xué)研究才真正開始。一些人開始出國學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，較早出國學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有1903年留日的馮祖荀，1908年留美的鄭之蕃，1910年留美的胡明復(fù)和趙元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何魯，1919年留日的蘇步青等人。其中胡明復(fù)1917年取得美國哈佛大學(xué)博士學(xué)位，成為第一位獲得博士學(xué)位的中國數(shù)學(xué)家。他們中的多數(shù)回國后成為著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，為中國近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展作出重要貢獻(xiàn)。
隨著留學(xué)人員的回國，各地大學(xué)的數(shù)學(xué)教育也有了起色。最初只有北京大學(xué)設(shè)有數(shù)學(xué)系，后來天津南開大學(xué)、東南大學(xué)（今南京大學(xué)）和清華大學(xué)等也相繼建立數(shù)學(xué)系，不久武漢大學(xué)、齊魯大學(xué)、浙江大學(xué)、中山大學(xué)也陸續(xù)設(shè)立了數(shù)學(xué)系，到1932年各地已有32所大學(xué)設(shè)立了數(shù)學(xué)系或數(shù)理系。1935年還成立了中國數(shù)學(xué)會，并且《中國數(shù)學(xué)會學(xué)報(bào)》和《數(shù)學(xué)雜志》相繼問世，這些都標(biāo)志著中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的進(jìn)一步發(fā)展。
